Exercício Mega complicado

por caca-filho 10/11/2011, 6:52 pm

Olá pessoal! Me deparei com esse exercício num caderno de exercícios de matemática e realmente não sei resolver! Alguém aí poderia me ajudar?
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"Qual é a soma de todos os numeros primos que podem ser expressos na forma x³-1, em que x é um número inteiro?"
Resposta: 5
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Grato!

por Werill 10/11/2011, 7:11 pm

Todos os primos, exceto o 2, são impares, portanto x³ deve ser par.

x = 2 => x³ - 1 = 7
x = 4 => x³ - 1 = 63
x = 6 => x³ - 1 = 215

Parece que o único é o 7, portanto a "soma" é igual a 7.
Mas não estou conseguindo ver o porquê (se é que está correto)

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[Edit] Acho que consegui:

x³ - 1 = (x - 1)(x² + x + 1)

Veja que se (x - 1) não for nulo não formaremos um número primo (pois será divisível por outro número, fazendo-o composto) . Portanto, x = 2, pois (2 - 1) = 1.

2³ - 1 = (2 - 1)(2² + 2 + 1)
2³ - 1 = (4 + 2 + 1)
2³ - 1 = 7

por caca-filho 10/11/2011, 7:15 pm

entao. eu tb pensei em algo assim..
tipo,
x³-1 = (x-1)(x²+x+1)
ae eu meio q pensei.. que o x-1 teria q ser 1, por ser primo..
Assim,
x-1 = 1
x=2
ae ficaria
2²+2+1 = 7
porém, a resposta é 5 e eu não faço a mínima ideía do porque!

por Werill 10/11/2011, 7:26 pm

Provavelmente o gabarito está errado.

x³ - 1 = 2
x³ = 3 => x não é inteiro

x³ - 1 = 3
x³ = 4 => x não é inteiro

x³ - 1 = 5
x³ = 6 => x não é inteiro

Fiz isso para mostrar que não há nenhuma possibilidade de soma seguindo as condições.

por **ivomilton** 10/11/2011, 7:32 pm

caca-filho escreveu:Olá pessoal! Me deparei com esse exercício num caderno de exercícios de matemática e realmente não sei resolver! Alguém aí poderia me ajudar?
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"Qual é a soma de todos os numeros primos que podem ser expressos na forma x³-1, em que x é um número inteiro?"
Resposta: 5
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Grato!

Boa noite.

Fatorando a expressão dada, fica:
x³ - 1 = (x-1)(x²+x+1)

Como x³-1 deve ser um número primo, dos dois fatores em que foi fatorado, um deles, certamente deverá ser igual a 1, pois sendo x³-1 primo, só admite dois divisores: ele próprio e a unidade.

x-1 = 1 → x = 1+1 → x = 2

Logo, o outro deverá ser:

x² + x + 1 = 2² + 2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7

x² + x + 1 = 1
x² + x = 0
x(x + 1) = 0
x=0 → x'=0
x+1=0 → x"=-1

E então teríamos:
x³ - 1 = (-1)³ - 1 = -1 - 1 = -2

Somando-se os resultados obtidos (7 e -2), fica:
7 - 2 = 5

Creio que seja assim a resolução.

Um abraço.