Relatividade

Gliese 832c – O exoplaneta potencialmente habitável mais próximo da Terra Esse exoplaneta está a somente 16 anos-luz de distância da Terra, o que faz com que o sistema planetário da estrela Gliese 832c seja atualmente o sistema mais próximo da Terra que abriga um planeta que pode potencialmente suportar a vida. 
(https://spacetoday.com.br. Adaptado)

Considere que, em um futuro distante, seja possível uma viagem interplanetária até Gliese 832c. Admita que dois irmãos gêmeos univitelinos, João e José, vivem na Terra e que João precise fazer uma viagem interplanetária até esse exoplaneta, enquanto José permanece na Terra. Considere, também, que a espaçonave utilizada por João mantenha, na ida e na volta, uma velocidade constante v = 0,8 × c, em que c é a velocidade da luz, no vácuo. Adote, nesse caso, o fator de Lorentz \gamma = 1,6, desconsidere os intervalos de tempo de aceleração e desaceleração da espaçonave e o intervalo de tempo de permanência de João no exoplaneta. Dessa forma, devido a efeitos relativísticos, quando João retornar à Terra, ele estará, em relação ao José

(A) 15 anos mais jovem.
(B) 7,5 anos mais velho.
(C) 32 anos mais jovem.
(D) 7,5 anos mais jovem.
(E) 15 anos mais velho.

Gabarito: A

Maneira 1:
Para José, João está fazendo um percurso de 32 anos-luz com uma velocidade constante de 0,8c:
[latex] \Delta t=\frac{\Delta x}{v}=\frac{32\times 3.10^8\times60\times60\times24\times365}{0,8\times3.10^8} \: \:segundos [/latex]
Convertendo para anos:
[latex] \Delta t=\frac{32\times 3.10^8\times60\times60\times24\times365\:s}{0,8\times3.10^8} . \frac{1 \:ano}{60\times60\times24\times365 \: s \:\:}  \\ =\frac{32}{0,8}=40\:\:anos [/latex]
Agora, para João que está em um referencial de velocidades relativísticas:
[latex] \Delta t = \Delta t_0 . \gamma \rightarrow \Delta t_0 =\frac{\Delta t}{\gamma}=\frac{40}{1,6}=25 \:\: anos [/latex]
Maneira 2:
De 1, a viagem demora 40 anos para José.
João está no referencial com velocidade relativística, portanto, para ele, a distância entre os 2 planetas é menor:
[latex] L = \frac{L_0}{\gamma}= \frac{32 \:anos-luz}{1,6}=20 \: anos-luz [/latex]
Encontrando o tempo para João:
[latex]  \Delta t=\frac{\Delta x}{v}=\frac{20\times 3.10^8\times60\times60\times24\times365}{0,8\times3.10^8} \: \:segundos [/latex]
Convertendo para anos:
[latex] \Delta t=\frac{20 \times 3.10^8\times60\times60\times24\times365\:s}{0,8\times3.10^8} . \frac{1 \:ano}{60\times60\times24\times365 \: s \:\:}  \\ = \frac{20}{0,8}=25\:\:anos [/latex]