Hexágono e Octógono Regulares

por Guilherme-Fernandes-1985 Seg 06 Jun 2022, 20:32

Na figura abaixo, ABCDEFGH é um octógono regular e EFMNOP é um hexágono regular, coplanar ao octógono. A medida da área da região interna ao octógono e externa ao hexágono, isto é, a área do polígono ABCDEPONMFGH, é igual a [latex]\frac{8+8\sqrt{2}-6\sqrt{3}}{3}[/latex] cm . Sendo assim, unindo-se o vértice G do octógono ao vértice M do hexágono, obtém-se o segmento GM, cuja medida, em cm, é igual a:

Hexágono e Octógono Regulares WdgLmfrqzdA3AAAAABJRU5ErkJggg==

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por **Elcioschin** Seg 06 Jun 2022, 23:04

Eis o caminho

Seja L o lado dos dois polígonos.

Área do hexágono ---> Sh = 6.(L².√3/4) ---> Sh = 3.√2.L²/2

Seja R o raio do círculo circunscrito ao octógono ---> L = 2.R.cos(135º/2) ---> Calcule R em função de L

Área do octógono ---> So = 8.R².sen45º/2 ---> So = 4.R².(√2/2) ---> So = 2.√2.R² ---> Calcule So em função de L

So - Sh = (8 + 8.√2 - 6.√3)/3

EFG = 135º ---> E^FM = 120º ---> M^FG = 15º

Lei dos cossenos no triângulo MFG ---> MG² = FG² + FM² - 2.FG.FM.cos15º ---> MG² = 2.L² - 2.L².cos(45º - 30º)

Complete

por **Medeiros** Ter 07 Jun 2022, 02:46

vou deixar até onde eu fiz e talvez alguém consiga terminar (porque eu não sei); acho que usa racionalização de trinômios -- precisa de alguém habilidoso com álgebra. O segundo termo do meu radicando deve ser igual ao numerador da alternativa C.

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