Matemática - Somatórios V

5) Calcule:

a) [latex]\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}[/latex]


b) [latex]\sum_{k=1}^{n}\frac{k+1}{(k-1)!+k!+(k+1)!}[/latex]


c) [latex]\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{2}+k-1}{(k+2)!}[/latex]


Não tenho o gabarito.


Desde já, muitíssimo obrigado pela ajuda!!


Eu simplesmente travei nessas questões de somatórios, qualquer ajuda é bem-vinda!

Pra essa primeira, quando você tem um termo dessa forma, a princípio você quebra essa fração em uma soma de frações e tenta fazer uma soma telescópica, a forma de quebrar essa fração em uma soma de frações seria fazer:

1/(k(k+1)(k+2)) = A/k + B/(k+1) + C/(k+2)

Calcule A, B e C, daí provavelmente você vai cair numa soma telescópica, daí é só calcular ela.

Para a segunda:

(k+1)/((k-1)! + k! + (k+1)!) 
(k+1)/((k-1)!(1 + k + k(k+1)) 
(k+1)/((k-1)!(k+1)²)
1/((k-1)!(k+1))
k/(k+1)!
(k+1-1)/(k+1)!
1/k! - 1/(k+1)!

Daí só fazer a soma telescópica pra resolver a questão.

Pra terceira:

(k² + k - 1)/(k+2)!
(k² + 4k + 4 - 3k - 6 + 1)/(k+2)!
(k+2)²/(k+2)! - 3(k + 2)/(k+2)! + 1/(k+2)!
(k+2)/(k+1)! - 3/(k+1)! + 1/(k+2)!
(k+1)/(k+1)! - 2/(k+1)! + 1/(k+2)!
1/k! - 2/(k+1)! + 1/(k+2)!

Ai é só fazer a soma telescópica novamente.