Construções Geométricas

Construa um retângulo conhecendo-se um de seus lados, a, sabendo que sua área é igual a do quadrado de diagonal d.

apenas com régua e compasso.


descritivo:

1) sobre uma reta suporte r escolha um ponto A.
2) por A levante uma perpendicular s.
3) trace a bissetriz t do ângulo sAr e sobre t, a partir de A, transfira a medida d da diagonal do quadrado, obtendo o ponto B no seu extremo. AB é a diagonal do quadrado.
4) projete o ponto B sobre s, ponto C. AC e BC são lados do quadrado.
5) sobre r e a partir de A, para o lado oposto⁽¹⁾ de t, transfira a medida do lado a do retângulo, obtendo o ponto D.
6) trace o segmento CD e sua mediatriz m (no desenho, esqueci de indicar que m faz ângulo reto com CD). Na interseção de m com r marque o ponto O. Nota: o ponto O é equidistante de C e de D.
7) com centro em O e raio OD trace o semicírculo DCE (E é o encontro com r).
8) com centro em A e raio AE, retaba o ponto E para a semireta s obtendo o ponto F.
9) AF é o outro lado do retângulo, complete seu traçado. O retângulo construído é AFGD. Obs: rigorosamente, para completar o traçado você deve levantar uma perpendicular por D, transferir a medida AF para DG e traçar o segmento GF.

Justificativa: da média geométrica no semicírculo sabemos que AC² = AD*AE. Mas AC² é a área do quadrado, logo AD*AE deve ser a área do retângulo. Como AD = a, lado fornedido do retângulo, o outro lado deve ter medida AE.

⁽¹⁾ OBS: isto "de lado oposto" não tem qualquer necessidade geométrica, é apenas para deixar o desenho mais limpo. Funciona para qualquer lado que se transfira aquela medida.