![[CN/EPCAR - cos36] T3Ri1xW](https://i.imgur.com/T3Ri1xW.png)
[CN/EPCAR - cos36]
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[CN/EPCAR - cos36]
por castelo_hsi Seg 18 Abr 2022, 22:46
Na imagem abaixo, ABCDE e DEFGH são pentágonos regulares de lados iguais a 2. Se a área do triângulo é S, então o cos 36° é igual a:
![[CN/EPCAR - cos36] 0B150D16-5289-480D-28BB-F866D39BB7BF-400](https://estrategia-prod-questoes.s3.amazonaws.com/images/0B150D16-5289-480D-28BB-F866D39BB7BF/0B150D16-5289-480D-28BB-F866D39BB7BF-400.png)
a)![[CN/EPCAR - cos36] 9F9B5CDB-7233-AD43-2318-0543856196EF-400](https://estrategia-prod-questoes.s3.amazonaws.com/images/9F9B5CDB-7233-AD43-2318-0543856196EF/9F9B5CDB-7233-AD43-2318-0543856196EF-400.png)
b)![[CN/EPCAR - cos36] 3C0E1018-986A-5EB4-A3AC-E67E3B61089D-400](https://estrategia-prod-questoes.s3.amazonaws.com/images/3C0E1018-986A-5EB4-A3AC-E67E3B61089D/3C0E1018-986A-5EB4-A3AC-E67E3B61089D-400.png)
c)![[CN/EPCAR - cos36] 9C14C2A0-4D23-1ACF-01B2-56A6B319EF95-400](https://estrategia-prod-questoes.s3.amazonaws.com/images/9C14C2A0-4D23-1ACF-01B2-56A6B319EF95/9C14C2A0-4D23-1ACF-01B2-56A6B319EF95-400.png)
d)![[CN/EPCAR - cos36] 44AA4692-EDB2-6511-5446-FECE64F90E23-400](https://estrategia-prod-questoes.s3.amazonaws.com/images/44AA4692-EDB2-6511-5446-FECE64F90E23/44AA4692-EDB2-6511-5446-FECE64F90E23-400.png)
e)![[CN/EPCAR - cos36] B15DF3DB-2AC5-21C1-F107-B8533B8A7A4B-400](https://estrategia-prod-questoes.s3.amazonaws.com/images/B15DF3DB-2AC5-21C1-F107-B8533B8A7A4B/B15DF3DB-2AC5-21C1-F107-B8533B8A7A4B-400.png)
a)
b)
c)
d)
e)
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Última edição por castelo_hsi em Ter 19 Abr 2022, 11:56, editado 2 vez(es)
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Re: [CN/EPCAR - cos36]
por qedpetrich Ter 19 Abr 2022, 00:02
Olá Castelo;
Calculando a soma dos ângulos internos:
(n-2) x 180° → n = 5 → 540°
Assim, cada ângulo interno vale 540°/5 = 108°. Dessa forma, prolongando um lado do pentágono, podemos concluir que o ângulo externo vale 72°, isso significa dizer que o ângulo entre os dois lados do triângulo iguais a 2 fazem 144°. Portanto, aplicando a área de um triângulo, temos que:
![[CN/EPCAR - cos36] Png](https://latex.codecogs.com/png.latex?%5Cdpi%7B100%7D%20%5Cmathrm%7BA_%7B%5CDelta%7D%3D%5Cfrac%7B2%5Ctimes%202%5Ctimes%20sen%28144%5E%7B%5Ccirc%7D%29%7D%7B2%7D%20%3D%20S%5C%20%5Ctherefore%20%5C%20sen%28144%5E%7B%5Ccirc%7D%29%3D%5Cfrac%7BS%7D%7B2%7D%7D)
Mas sen(x) = sen(180° - x), logo, sen(144°) = sen(36°). Substituindo
![[CN/EPCAR - cos36] Png](https://latex.codecogs.com/png.latex?%5Cdpi%7B100%7D%20%5C%5C%5Cmathrm%7Bsen%2836%5E%7B%5Ccirc%7D%29%3D%5Cfrac%7BS%7D%7B2%7D%7D)
Pela relação fundamental da trigonometria, temos, sen²(x) + cos²(x) = 1, logo:
![[CN/EPCAR - cos36] Png](https://latex.codecogs.com/png.latex?%5Cdpi%7B100%7D%20%5C%5C%5Cmathrm%7Bsen%5E2%2836%5E%7B%5Ccirc%7D%29+cos%5E2%2836%5E%7B%5Ccirc%7D%29%3D1%5C%20%5Crightarrow%20%5C%20%5Cfrac%7BS%5E2%7D%7B4%7D+cos%5E2%2836%5E%7B%5Ccirc%7D%29%3D1%7D%5C%5C%5Cmathrm%7Bcos%5E2%2836%5E%7B%5Ccirc%7D%29%3D%5Cfrac%7B4-S%5E2%7D%7B4%7D%5C%20%5Ctherefore%20%5C%20%5Cboxed%7B%5Cmathrm%7Bcos%2836%5E%7B%5Ccirc%7D%29%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B4-S%5E2%7D%7D%7B2%7D%7D%7D%7D)
Com certeza existem outras formas, mas foi o que consegui fazer.
Calculando a soma dos ângulos internos:
(n-2) x 180° → n = 5 → 540°
Assim, cada ângulo interno vale 540°/5 = 108°. Dessa forma, prolongando um lado do pentágono, podemos concluir que o ângulo externo vale 72°, isso significa dizer que o ângulo entre os dois lados do triângulo iguais a 2 fazem 144°. Portanto, aplicando a área de um triângulo, temos que:
Mas sen(x) = sen(180° - x), logo, sen(144°) = sen(36°). Substituindo
Pela relação fundamental da trigonometria, temos, sen²(x) + cos²(x) = 1, logo:
Com certeza existem outras formas, mas foi o que consegui fazer.
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Re: [CN/EPCAR - cos36]
por castelo_hsi Ter 19 Abr 2022, 11:46
Caramba, qedpetrich, valeu demais. O mago da trigonometria. 
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