Quantidade de N°s que podem ser formados pelo produto

Considere os números: 

2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7.

Quantos números distintos podem ser formados se multiplicamos dois ou mais números escolhidos dentre os números acima?


Alguém pode me dar uma dica? O fato de os fatores nao serem primos entre si me deixa realmente em dificuodades para encontrar uma forma de resolver.

(comentário: Acredito que este exercício deva ser feito com algum tipo de verificação mecânica adjunta a alguma simplificação dos casos, afinal são 20 opções de dois números que você pode tomar, eu propus a verificação através algumas propriedades de inteiros e conjuntos)

Os valores que devemos trabalhar estão todos no conjunto [latex]\{2,3,4,5,6,7\}[/latex], para facilitar vamos dividir em dois casos:

Caso I : dois números iguais x,x
O produto da multiplicação a partir da escolha de um par de x vai ser [latex]x^2[/latex]. (Nota: o 2 não pode gerar um quadrado, porque o enunciado fornece apenas um dele)

Caso II : Dois números diferentes x,y
Existem [latex]C_6 ^2[/latex] maneiras de combinar os valores distintos x e y a partir do conjunto [latex]\{2,3,4,5,6,7\}[/latex]. Observe que a multiplicação é comutativa, ou seja, a ordem que os fatores multiplicados não importa.
Vamos analisar se todas essas as combinações são distintas.
Todo número possui uma única fatoração em termos de primos, portanto se x, y forem primos distintos somente x,y podem gerar [latex]x\cdot y[/latex]. Sobraram os casos nos quais ou x ou y são números compostos. Os únicos números compostos a disposição são apenas o 4 e o 6. Neste casos é possível fazer a verificação manual da formas que geram [latex]4y[/latex] ou [latex]6y[/latex] e, concluir se existem dois pares distintos com o mesmo resultado.

O numero de elementos da união dos casos I (conjunto A) e II (conjunto B) é:

[latex] n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A\cap B)[/latex]

Faltou só achar quais são os produtos comuns aos casos I e II.

Acho que pode ser isto:

2¹.3².4³.5⁴.6⁵.7⁶ = 2¹.3².(2²)³.5⁴.(2¹.3¹)⁵.7⁶ = 2¹².3⁸.5⁴.7⁶


Total de divisores positivos = (12 + 1).(8 + 1).(4 + 1).(6 + 1)

Faça as contas.

Tens o gabarito?

joaoZacharias escreveu:(comentário: Acredito que este exercício deva ser feito com algum tipo de verificação mecânica adjunta a alguma simplificação dos casos, afinal são 20 opções de dois números que você pode tomar, eu propus a verificação através algumas propriedades de inteiros e conjuntos)

Os valores que devemos trabalhar estão todos no conjunto [latex]\{2,3,4,5,6,7\}[/latex], para facilitar vamos dividir em dois casos:

Caso I : dois números iguais x,x
O produto da multiplicação a partir da escolha de um par de x vai ser [latex]x^2[/latex]. (Nota: o 2 não pode gerar um quadrado, porque o enunciado fornece apenas um dele)

Caso II : Dois números diferentes x,y
Existem [latex]C_6 ^2[/latex] maneiras de combinar os valores distintos x e y a partir do conjunto [latex]\{2,3,4,5,6,7\}[/latex]. Observe que a multiplicação é comutativa, ou seja, a ordem que os fatores multiplicados não importa.
Vamos analisar se todas essas as combinações são distintas.
Todo número possui uma única fatoração em termos de primos, portanto se x, y forem primos distintos somente x,y podem gerar [latex]x\cdot y[/latex]. Sobraram os casos nos quais ou x ou y são números compostos. Os únicos números compostos a disposição são apenas o 4 e o 6. Neste casos é possível fazer a verificação manual da formas que geram [latex]4y[/latex] ou [latex]6y[/latex] e, concluir se existem dois pares distintos com o mesmo resultado.

O numero de elementos da união dos casos I (conjunto A) e II (conjunto B) é:

[latex] n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A\cap B)[/latex]

Faltou só achar quais são os produtos comuns aos casos I e II.

Sem nexo total a minha resposta, ignorou por completo a multiplicação de 3, 4, 5 .... números. Apenas desconsidere.

Fiz uma alteração, colocando apenas as bases com números primos.

Então vai ser bem trabalhoso. Vamos aguardar para ver se o colega joaoZacharias tem o gabarito.

Eu fiz o roteiro a partir de todas as multiplicações que existem eajustando fazendo até chegar as condições do problema, de fato garante-se uma resposta mas o desenvolvimento é longo demais sendo inviável para se fazer a mão.

A ideia de partir de todos os divisores do número máximo que o produto pode alcançar- o produto de todos os números a disposição - é bem interessante, os problemas que teríamos que contornar seriam os valores que não pode ser obtidos através da multiplicação dos termos fornecidos e, também, modos diferentes de multiplicar os números mas que levem ao mesmo produto.
Um pouco de reflexão nos induz que os valores estranhos podem ser eliminados desde que se considerem apenas as diferentes formas de multiplicar os números, oras como esses valores foram gerados através da multiplicação, eles serão obteníveis pela mesma. Os produtos podem ser genericamente representados por:

[latex] 2^a \cdot 3^b \cdot 4^c \cdot 5^d \cdot 6^e \cdot 7 ^f[/latex]

O total de multiplicações que podem ser gerados é: [latex]7! = 5040[/latex].

Agora nossa única preocupação é procurar as multiplicações ambíguas, elas de fato existem, 6 = 3 x 2 é uma por exemplo.

Na minha resposta anterior, eu utilizei do seguinte fato que também será conveniente aqui, Todo número possui uma única representação de fatoração em termos de números primos. Em outras palavras, números que são escritos como o seguinte [latex]2^a \cdot 3^b \cdot 5^d \cdot 7 ^f[/latex] não apresentaram outra multiplicação, que não essa, em termos de 2,3,5 e 7. Isso leva ao condicionamento de que se existem ambiguidades elas envolvem o aparecimento do 4 ou 6.
Uma segunda consideração revela que os números 5 e 7 não geram ambiguidades por sí só, observe que qualquer valor que seja n, ele apresentará uma fatoração como a que segue:

[latex] 2^a \cdot 3^b \cdot 4^c \cdot 5^d \cdot 6^e \cdot 7 ^f= 2^{(a +2c +e)} \cdot 3^{(b+e)} \cdot 6^e \cdot 5 ^ a \cdot 7^b = n[/latex]

A forma fatorada em termos de 5 e 7 primos dele apenas dependem de seus próprios expoentes, o que não é verdade com os números 2 e 3. Esse fato instiga-nos ao seguinte, se existir alguma ambiguidade ela está vinculada aos números 2, 3, 4 e 6.

Concluindo essa primeira etapa, a gente deduziu que se existem ambiguidades elas envolvem obrigatoriamente aparecimento do 4 ou 6, e que podemos desconsiderar na análise os números 5 e 7.

Eu fiz uma varredura e descobri que as condições que geram ambiguidades são:

caso (I) comutação de um par 2x2 e um 4
caso (II) Comutação de um par 2 x 3 por um 6
caso (III) Comutação de uma quadra 2x2x3x3 por 6 x 6 ou 3 x 3 x 4
….

De fato, eu fiz a varredura, mas eu pequei, pois não foi realizada de forma sistemática, não havendo garantias que essas são todas as possibilidades. Recomendo fortemente que você faça a conferência se desejar concluir o problema.

Para cada caso teríamos que calcular o número de multiplicações que envolvem uma das ambiguidades. Ex:
caso (I) [latex]2^{(2+z)} \cdot 3^y \cdot 4^z \cdot 5^w \cdot 6 ^r \cdot 7^s [/latex], se existirem k ambiguidades para um mesmo resultado teremos de descontar de k-1 delas, afinal em 7! elas foram contadas k vezes.
Para clarear a minha última afirmação considere o caso (III), ele apresenta três valores, ou pelo menos três pela incerteza na varredura, que podem ser comutados, então os valores de [latex]2^{(2+z)}\cdot 3^{(2+y)} \cdot 4^z \cdot 5^w \cdot 6 ^r \cdot 7^s [/latex], iguais aos em que se subistitui 2x2x3x3 por 6 x 6 ou 3 x 3 x 4, são contados pelo menos três vezes, necessitando serem descontados pelo menos duas vezes.

Cada caso pode ser representado por um conjunto, teríamos que aplicar o princípio da inclusão-exclusão entre os casos para determinar o número de elementos da reunião destes conjuntos(casos). Definamos esse número como n.
Então obtemos que os resultados distintos gerados por todas as multiplicações dos números do enunciado é [latex] 7!- n[/latex].

Calma, calma, eu sei já foram muitas considerações para um problema só mas eu juro que estamos caminhando para o fim. Como exercício pede as multiplicações em posse de pelo menos dois números envolvidos, temos que tirar o caso em que nenhum dos números é utilizado e os em que apenas usa-se um deles. Eles estão no seguinte conjunto [latex] \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 \}[/latex] totalizando 8, então a resposta procurada é [latex] 7 ! - n - 8[/latex].

Elcioschin escreveu:Então vai ser bem trabalhoso. Vamos aguardar para ver se o colega joaoZacharias tem o gabarito.

Infelizmente não possuo gabarito, aliás nem faço ideia de onde a questão foi retirada.