Transformações Lineares

por _Luismenezes_ Seg 08 Nov 2021, 13:30

Sejam a, b ∈ R e seja T : P2(R) → R3 a transformação linear tal que:
T(1) = (1, 2, 1), T(1 + x) = (1, a, b), T(1 + x + x 2 ) = (1, 1, 2).
Então, T é injetora se, e somente se,
(a) a + b = 3.
(b) a + b 6= 5.
(c) a + b 6= 3.
(d) a + b = 5.
(e) a = b.
-----------------
Um pouco do que pensei:

Encontrei a lei da transformação linear. Dada por:
T(a+bx+cx²)=(a,ab-bc+2a-2b+c,-bc+b²+a+2c-b)
Portanto, T(1+x)=(1,1,1),considerando que os coeficientes a=b=1 e c=0.
Sei também que para a equação ser injetora, seu núcleo deve ser igual ao vetor nulo, portanto:
a=0
ab-bc+2a-2b+c=0
-bc+b²+a+2c-b=0

Porém esse sistema tem infinitas soluções.

por **Rory Gilmore** Qui 11 Nov 2021, 21:19

Observe que {1, 1 + x, 1 + x + x²} é base de P2 (ℝ).

Logo, Im(T) = [T(1), T(1 + x), T(1 + x + x²)] = [(1, 2, 1), (1, a, b), (1, 1, 2)]

Pelo Teorema do Núcleo/Imagem, temos:
dim(Ker T) + dim(Im T) = dim(P2 (ℝ))

Queremos que o núcleo seja o vetor nulo e isso equivale a dim(Ker T) = 0. Assim, deve-se impor que dim(Im T) = 3.

Assim os vetores geradores de Im(T) devem ser L.I.

Se você fizer as contas, encontrará a + b ≠ 3.

OBS: tem certeza que suas alternativas estão digitadas corretamente?

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