Momento de inercia de um cilindro com uma barra presa

Considerando um cilindro homogeneo, com um eixo de rotação passando em seu centro (o ponto preto), e uma barra fina de comprimento igual ao raio do cilindro e massa igual a metade da massa do cilindro presa a superfície do cilindro.

Sendo M e r a massa e raio do cilindro respectivamente, calcule qual o momento de Inercia desse objeto.

E se colocarmos um partícula de massa x, na ponta externa da barra, qual o novo momento de inércia?



Eu estou tendo um problema enorme para calcular o momento de inercia dessa barra...

Chamando a massa da barra de m, para evitar a fração.

Se considero o eixo no centro de massa da barra o momento de inércia dela é mr^2/12, e esse eixo está a uma distância de meio raio + um raio, ou seja r/2 + r, do eixo de rotação do objeto. Pelo teorema dos eixos paralelos, isso nos da I = 7mr^2/3

Porém, se eu considero o eixo como estando na ponta da barra, então o momento de inercia dela é mr^2/3, e esse eixo está a uma distância r do eixo de rotação, o que nos da um I = 4mr^2/3.

Eu honestamente acho que os dois valores estão errados, pois não devo estar entendendo alguma coisa...

Por favor, se alguem conseguir me explicar vou agradeçer para sempre.