Conservação de momento e energia no lançamento obliquo.

por TheGreatDeadOne Sáb 27 Mar 2021, 02:46

Um projétil de massa m é atirado com velocidade inicial de módulo v_0 em um ângulo de elevação de 45◦ . O projétil explode no ar em dois pedaços de massas m/3 e 2m/3. Os pedaços continuam se movendo no mesmo plano do movimento do projétil inteiro e chegam juntos ao solo. O pedaço menor cai a uma distância 3v₀² /2g do ponto de lançamento. Determine o alcance do pedaço maior. Despreze a resistência do ar

Esse problema eu já resolvi utilizando outro recurso ( só obter a coordenada do alcance do centro de massa e a partir dele, obter para a massa maior. R=(3v₀²)/(4g)), mas utilizando a conservação de momento e de energia cinética, não consigo avançar. O momento se conserva em x, assim como a energia cinética se conserva na mesma direção, logo tentei obter a velocidade da massa menor usando seu alcance, mas quanto tento resolver dessa forma aparece um fator 1/2.

por al171 Dom 28 Mar 2021, 00:34

É necessário considerar apenas a conservação do momento linear:

$Conservação de momento e energia no lançamento obliquo. Svg$

Como os fragmentos caem no mesmo intervalo de tempo, as componentes verticais de suas velocidades são iguais, uma vez que no ato da explosão, partem da mesma altura:

$Conservação de momento e energia no lançamento obliquo. Svg$

Agora, vem o pulo do gato. Num caso mais geral possível, sabemos que os fragmentos também podem executar um lançamento oblíquo. Só que já conhecemos a componente vertical da velocidade de cada fragmento. Como sabemos do ângulo associado a esses novos lançamentos oblíquos, também determinamos a componente horizontal associada a cada fragmento.

$Conservação de momento e energia no lançamento obliquo. Svg.latex?%5Cbegin%7Balign*%7D%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20v_%7B1%2Cx%7D%3Dv_0%5Ccos%20%5Ctheta%5C%5C%20v_%7B1%2Cy%7D%3Dv_0%5Csin%20%5Ctheta%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright.%20%5C%2C%5C%2C%5Cmathrm%7Be%7D%20%5C%20%5Cleft%5C%7B%20%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%20v_%7B2%2Cx%7D%3D2v_0%5Ccos%20%5Ctheta%5C%5C%20v_%7B2%2Cy%7D%3D2v_0%5Csin%20%5Ctheta%5C%5C%20%5Cend%7Barray%7D%20%5Cright$

Além disso, podemos igualar os intervalos de tempo de queda de cada fragmento mediante a componente horizontal de cada fragmento (movimento uniforme):

$Conservação de momento e energia no lançamento obliquo. Svg$

Um outro caminho bem convincente ao meu ver.

De todo modo, o fato de não haver forças externas ao sistema (ausência da força de resistência do ar) gera tanto a conservação do momento linear quanto as coordenadas do centro de massa.

Agora, como não sabemos do tipo de colisão que ocorre (elástica, e=1; etc.), não há como pensar na conservação de energia mecânica. Quer dizer, qual informação do enunciado sugere que a energia cinética vai conservar... acho que essa discussão só levará a crença em miragens.