Determinante

Questão do Livro Fundamentos de Matemática Elementar. 

Prove que:

[latex]\begin{vmatrix} a+x & b+x & c+x \\ a+y & b+y & c+y\\ a^{2}& b^{2} & c^{2} \end{vmatrix} = (b-c)(c-a)(a-b)(x-y)[/latex]


Se alguém puder me ajudar, ficarei muito grata !

Faça: nova linha 1 = linha 1 atual - linha 2 atual

A nova linha 1 sera: x-y. .x-y. .x-y

Dividindo esta linha por x-y obteremos 1...1...1 e a matriz  deverá ser multiplicada por (x - y)

Calcule o determinante usando Sarrus e tente completar

Pelo Teorema de Jacobi,sabemos que,se multiplicarmos uma fila por uma constante K e adicionarmos esse fator a outra fila PARALELA,o determinante não se alterará.

Dessa forma podemos multiplicar a 3ª coluna por (-1)e adicioná-la a 1ª coluna,ficando com:

[latex]\begin{vmatrix} a-c & b+x & c+x \\ a-c & b+y & c+y \\ (a+c)(a-c) & b^{2} & c^{^{2}} \end{vmatrix}[/latex]


Veja que eu já fatorei o a² - c² em diferença de quadrados,para ficar melhor de visualizar.

Todos os elementos da 1ª coluna estão multiplicados por (a-c). Logo,colocar-lo-ei em evidência:

[latex](a-c)\begin{vmatrix} 1 & b+x & c+x\\ 1& b+y & c+y\\ (a+c) & b^{2} & c^{^{2}} \end{vmatrix}[/latex]



Fazendo o mesmo processo com a 2ª coluna,multiplicaremos a 3ª por (-1) e somaremos à 2ª,ficando,no final,com:

[latex](a-c)(b-c)\begin{vmatrix} 1 & 1 & c+x\\ 1& 1 & c+y\\ (a+c) & b+c & c^{^{2}} \end{vmatrix}[/latex]


Nesse caso,eu já coloquei em evidência b-c,presente em todos os elementos da 2ª coluna.

Agora,multiplicaremos a 2ª linha por (-1) e somaremos à 1ª linha,obtendo uma fila com dois elementos nulos:

[latex](a-c)(b-c)\begin{vmatrix} 0 & 0 & x-y\\ 1& 1 & c+y\\ (a+c) & b+c & c^{^{2}} \end{vmatrix}[/latex]



Agora,ficou muito mais fácil calcular o det por Laplace usando a 1ª linha:

[latex](a-c)(b-c)(x-y)\begin{vmatrix} 1 & 1\\ a+c & b+c \end{vmatrix}[/latex]

Resultando em:

[latex](a-c)(b-c)(x-y)(b-a)[/latex]

Que é equivalente a resposta da questão. Vamos colocar (-1) em evidência de (a-c):

(-1)(c-a)(b-c)(x-y)(b-a)

Agora vamos multiplicar (-1) e o fator (b-a):

(a-b)(b-c)(c-a)(x-y)

Olá

a determinante dessa matriz por sarrus da muito trabalho!

det = ab²x-a²bx-ac²x+bc²x+a²cx-b²cx-ab²y+a²by+ac²y-bc²y-a²cy+b²cy

para dizer que a det é a mesma coisa que (b-c)(c-a)(a-b)(x-y) temos que abrir essa expressão! e igualá-las... (da um trabalhinho)...

(b-c)(c-a)(a-b)(x-y) = bc²x-bc²y-b²cx+b²cy-ba²x+ba²y+b²ax-b²ay-c²ax+c²ay+ca²x-ca²y

igualando: ab²x-a²bx-ac²x+bc²x+a²cx-b²cx-ab²y+a²by+ac²y-bc²y-a²cy+b²cy = bc²x-bc²y-b²cx+b²cy-ba²x+ba²y+b²ax-b²ay-c²ax+c²ay+ca²x-ca²y

Subtraindo de ambos os lados (-bc²y-b²cx+b²cy)

(-bc²y-b²cx+b²cy) - ab²x-a²bx-ac²x+bc²x+a²cx-b²cx-ab²y+a²by+ac²y-bc²y-a²cy+b²cy = bc²x-bc²y-b²cx+b²cy-ba²x+ba²y+b²ax-b²ay-c²ax+c²ay+ca²x-ca²y - (-bc²y-b²cx+b²cy)

resultando em:


bc²x-ba²x+ba²y+b²ax-b²ay-c²ax+c²ay+ca²x-ca²y=ab²x-a²bx-ac²x+bc²x+a²cx-ab²y+a²by +ac²y-a²cy

Subtrair de ambos lados: ba²y-b²ay+c²ay-ca²y


(ba²y-b²ay+c²ay-ca²y) - bc²x-ba²x+ba²y+b²ax-b²ay-c²ax+c²ay+ca²x-ca²y = ab²x-a²bx-ac²x+bc²x+a²cx-ab²y+a²by +ac²y-a²cy - (ba²y-b²ay+c²ay-ca²y)



resultando em:
bc²x-ba²x+b²ax-c²ax+ca²x = b²ax-ba²x-c²ax+bc²x+ca²x



Substraindo de ambos lados: b²ax-ba²x-c²ax+bc²x+ca²x


b²ax-ba²x-c²ax+bc²x+ca²x - bc²x-ba²x+b²ax-c²ax+ca²x = b²ax-ba²x-c²ax+bc²x+ca²x - b²ax-ba²x-c²ax+bc²x+ca²x



0 = 0


Os lados são iguais, e a determinante é verdadeira para todo x