Trigonometria - Demonstre que o triângulo é isósceles
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Trigonometria - Demonstre que o triângulo é isósceles
por Renan Almeida Qua 13 Jan 2021, 00:02
Demonstrar que é isósceles o triângulo ABC cujos ângulos A e B verificam a relação:
[latex]\sin{(\frac{A}{2})}\cos^3{(\frac{B}{2})} = \sin{(\frac{B}{2})}\cos^3{(\frac{A}{2})}[/latex]
Gostaria de saber como resolveriam essa questão. Logo posto minha resolução.
[latex]\sin{(\frac{A}{2})}\cos^3{(\frac{B}{2})} = \sin{(\frac{B}{2})}\cos^3{(\frac{A}{2})}[/latex]
Gostaria de saber como resolveriam essa questão. Logo posto minha resolução.
Renan Almeida- Matador
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Vitor Ahcor gosta desta mensagem
Re: Trigonometria - Demonstre que o triângulo é isósceles
por Vitor Ahcor Sex 15 Jan 2021, 11:02
Vamos sin(A/2)*cos³(B/2) = sin(B/2)*cos³(A/2) ⇒
⇒ sin(A/2)*cos(B/2)*(1-sin²(B/2)) = sin(B/2)*cos(A/2)*(1-sin²(A/2)) ⇒
⇒ sin(A/2)*cos(B/2) - sin(B/2)*cos(A/2) = sin(A/2)*cos(B/2)*sin²(B/2)-sin(B/2)*cos(A/2)*sin²(A/2) ⇒
⇒ sin((A-B)/2) = sin(A/2)*sin(B/2)*(sin(B/2)*cos(B/2) - sin(A/2)*cos(A/2)) ⇒
⇒ sin((A-B)/2) = sin(A/2)*sin(B/2)*(sinB - sinA)/2 ⇒
⇒ sin((A-B)/2) =sin(A/2)*sin(B/2)*sin((B-A)/2)*cos((A+B)/2)
(*) Suponha A≠B , daí
sin(A/2)*sin(B/2)*cos((A+B)/2) = -1 (Abs! porque -1< sin(A/2) , cos(B/2) <1)
Logo A = B, ou seja, o triângulo é isósceles. Está provado.
⇒ sin(A/2)*cos(B/2)*(1-sin²(B/2)) = sin(B/2)*cos(A/2)*(1-sin²(A/2)) ⇒
⇒ sin(A/2)*cos(B/2) - sin(B/2)*cos(A/2) = sin(A/2)*cos(B/2)*sin²(B/2)-sin(B/2)*cos(A/2)*sin²(A/2) ⇒
⇒ sin((A-B)/2) = sin(A/2)*sin(B/2)*(sin(B/2)*cos(B/2) - sin(A/2)*cos(A/2)) ⇒
⇒ sin((A-B)/2) = sin(A/2)*sin(B/2)*(sinB - sinA)/2 ⇒
⇒ sin((A-B)/2) =sin(A/2)*sin(B/2)*sin((B-A)/2)*cos((A+B)/2)
(*) Suponha A≠B , daí
sin(A/2)*sin(B/2)*cos((A+B)/2) = -1 (Abs! porque -1< sin(A/2) , cos(B/2) <1)
Logo A = B, ou seja, o triângulo é isósceles. Está provado.
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Vitor Ahcor- Monitor
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