Circunferência 6

por Carolzita Lisboa Dom 20 Set 2020, 02:42

Fundamentos de Matemática Elementar 7- Geometria Analítica
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261)
Para que valores de m e k a equação abaixo representa uma circunferência?
1º) mx²+y+10x-8y+k=0
2º) mx²+2y²+ 24 x -8=0
3º) 4x²+my²-4x+3k=0
Respostas:
1º) m=1 e k<41
2º) m=2 e k> -144
3º) m=4 e k< 1/3

por Mando66 Dom 20 Set 2020, 03:57

Para ser circunferência os valores devem ser, por exemplo, ax² + ay² - k = 0.

Repare que os valores de x² e y² devem ser os mesmos.

Logo temos:

1º) mx²+y²+10x-8y+k=0 --> m = 1

2º) mx²+2y²+ 24 x -8=0 --> m = 2

3º) 4x²+my²-4x+3k=0 --> m = 4

Para descobrir o "k" é melhor reduzir as respectivas equações para facilitar, sabendo que

x² + y² + 2a + 2b + k = 0

(x + a)² + (y + b)² = - k + a² + b²

1º) x²+y²+10x-8y+k=0 --> (x + 5)² + (y - 4)² , realizando essa operação chegamos ao valor da equação anterior e consequentemente ao valor de "k",
(x² +10x + 25) + (y² - 8y + 16) --> x² + y² + 10x - 8y + 41 = 0

2º) 2x²+2y²+ 24 x -8=0 --> k = -8 (termo indepedente)

3º) 4x²+4y²-4x+3k=0 --> 4(x - 1)² + 4y² = -3k

4[(x - 1)² + y²] = -3k

Resolvendo temos:

4(x² - x + 1/4 + y²) = -3k

4x² - 4y² + 1 = -3k

se 3k = 1

logo k < 1 / 3

Em relação a igualdade de k, você deve trabalhar isso pensando no raio, já que o raio deve ser sempre positivo e não nulo (senão seria um ponto).

Caso ainda tenha dúvidas, pergunta aí que resolvo pelo caderno pra vc Smile