(FUVEST 2000) Área em função de "g"

Considere os pontos A=(-2,0), B=(2,0), C=(0,3) e P=(0,g), com 0< g <3. Pelo ponto P, traçamos as três retas paralelas aos lados do triângulo ABC.


Imagem Link: http://www.diadematematica.com/vestibular/TEMP/GA_BAS/E4116.BMP

a) Determine, em função de g, a área da região sobreada na figura.
b) Para que valor de g essa figura é máxima?

Spoiler:

Sejam:

Q, R os pontos de encontro da reta y = g com as retas AC e BC
S, T os pontos das retas AC e BC, acima de Q, R
U, V os pontos do eixo X entre a origem e os pontos A, B

Equações das retas:

AC ----> y = (3/2)*x + 3

BC ----> y = - (3/2)*x + 3

UT ----> y = (3/2)*x + g

VS ----> y = - (3/2)*x + g


Determine as coordenadas de Q, R, S, T, U, V em função de g

Calcule as áreas dos paralelogramos AUPQ, BVPR e CSPT

Some as 3 áreas e ache a área procurada em função de g

Tem como resolver esse exercício por Geometria plana?

Além disso, Élcio, como eu calculo S e T em função de g? Eu só consegui o calcular os pontos U,V,Q e R em função de g

Minha resolução seguindo as instruções do mestre Élcio:

Spoiler:

Os três paralelogramos NÃO são idênticos: apenas os dois apoiados no eixo x são iguais.
A área de CSPT depende da posição de P. Se P estiver mais baixo esta área será maior que as dos outros dois.
Isto acontece porque OP = g e CP = 3 - g (as três áreas somente serão iguais quando g = 1,5)

E dá para calcular os pontos S e T facilmente:

S é o ponto de encontro das retas AC e SV (paralela a BC passando por V) e T o das retas BC e TU (paralela a AC, passando por U)

Certamente existe um modo de resolver por Geometria Plana, mas acho que deve ser muito trabalhoso.
E eu nem me preocupei em fazer isto, já que a questão foi postada no tópico de Geometria Analítica.

Élcio, muito obrigado!!! 

No entanto, fiquei com algumas dúvidas:  

I) Minha resolução está errada, embora eu tenha chegado na resposta do gabarito? Caso esteja certa, a banca me tiraria muitos pontos?


II) Eu só cheguei na resposta correta (caso esteja correta), porque usei o método do determinante para calcular a área do quadrilátero em função de uma variável?


Além disso, se possível, visto que o método aparenta ser trabalhoso, o senhor poderia me indicar o caminho para fazer por geometria plana? (esse exercício estava na minha listinha de geometria plana e eu queria saber uma resolução por esse método )

Por ser uma questão discursiva, você vai perder alguns pontos

O seu caminho e suas contas estão corretos, tanto na equação das retas AC e UT quanto no cálculo das coordenadas do ponto U

Não conferi os cálculos das áreas através de determinantes, mas suponho que estejam corretas

Seu erro, baseado nas suas próprias palavras, foi apenas supor que área superior era igual às inferiores. Não fora isto você teria calculado corretamente as equações das demais retas e coordenadas dos demais pontos, pois provou que entende assunto.

Vou pensar numa solução de Geometria Plana, mas sugiro contatar Raimundo, Medeiros e Euclidues que são "bambas" no assunto.

Sugiro aplicar semelhança de triângulos:

1) ABC e SVC
2) ABC e TUC
3) ABC e AQR

etc.

Note que OB = OC = 2 ---> BC = 4 ---> AO = 2 ---> AB² = AC² = OA² + OB² ---> AB² = AC² = 3² + 2² ---> AB = AC = √13

Desde de que fui evocado (grato pela lembrança, Élcio) aguardo o Gabriel seguir as orientações dadas e postar isto no fórum de GP&E. Como isso não aconteceu, posto abaixo a resolução na forma desejada.

Medeiros, obrigado pela resolução :DD. Eu não postei essa questão na seção de geometria plana e espacial pois achei que ela seria bloqueada por já estar contida no fórum.

Medeiros, além disso, fiquei com uma dúvida:
 Por que a base do triângulo X e Y , ao invés de a, não é a+b/2 ?

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Élcio, pensando melhor, o jeito que eu fiz (supondo que os três triângulos sejam congruentes) não está certo?  Não existirá sempre uma coordenada do ponto G que fará os triângulos X, Y e Z serem iguais?

1) os segmentos internos ao triângulo são respectivamente paralelos aos lados. Desta forma, as partes hachuradas formam paralelogramos. Por isso a base dos triângulos superiores têm mesma medida do lado horizontal dos paralelogramos, os quais chamei de "a".

2) o desenho engana! Os triângulos X, Y e Z NÃO são congruentes, apenas X e Y sempre o são. O triângulo Z apenas é congruente a X ou Y quando g=1 -- idem para os paralelogramos.

Para ter uma ideia, faça g=3. Os paralelogramos e os triângulos X e Y somem, restando apenas o triângulo Z que fica congruente ao triâng. ABC.

Ah sim, entendi Medeiros!


Obrigado, novamente, pela resolução