Dúvida sobre as soluções da equação abaixo
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Dúvida sobre as soluções da equação abaixo
por AtomicBlack_ Qua 12 Ago 2020, 20:11
Determine todos os valores de x pertencentes ao intervalo [0, 2π] que satisfazem a equação cos²(2x) = 1/2 - sin²x.
Resposta: S = {±π/4; ±3π/4; ±π/6 ; ±5π/6}
Existem duas formas de resolver esta equação, uma substituindo a identidade cos(2x) por 1 -2sin²x e depois resolver a equação quadrática 4k² - 3k + 1/2 = 0, sendo k = sin²x, ou multiplicando ambos os membros da primeira equação por 2, ficando 2cos²(2x)= 1 - 2sin²x. Sendo 1 - 2sin²x = cos(2x), podemos substituir na equação acima e ficar: 2cos²(2x) - cos(2x) = 0 => cos(2x).[2cos(2x) - 1] = 0 => cos(2x) = 0 ou cos(2x) = 1/2. Mas ao resolver dessa forma só obtenho as soluções positivas dessa equação. Oque eu esqueci de fazer nessa segunda resolução?
Resposta: S = {±π/4; ±3π/4; ±π/6 ; ±5π/6}
Existem duas formas de resolver esta equação, uma substituindo a identidade cos(2x) por 1 -2sin²x e depois resolver a equação quadrática 4k² - 3k + 1/2 = 0, sendo k = sin²x, ou multiplicando ambos os membros da primeira equação por 2, ficando 2cos²(2x)= 1 - 2sin²x. Sendo 1 - 2sin²x = cos(2x), podemos substituir na equação acima e ficar: 2cos²(2x) - cos(2x) = 0 => cos(2x).[2cos(2x) - 1] = 0 => cos(2x) = 0 ou cos(2x) = 1/2. Mas ao resolver dessa forma só obtenho as soluções positivas dessa equação. Oque eu esqueci de fazer nessa segunda resolução?
AtomicBlack_- Recebeu o sabre de luz
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Re: Dúvida sobre as soluções da equação abaixo
por Elcioschin Qua 12 Ago 2020, 21:27
cos(2.x) = 1 - 2.sen²x ---> cos²(2.x) = (1 - 2.sen²x)² = 1 - 4.sen²x + 4.(sen²x)²
cos²(2.x) = 1/2 - 2.sen²x --> 1 - 4.sen²x + 4.(sen²x)² = 1/2 - sen²x --> *2 --->
2 - 8.sen²x + 8.(sen²x)² = 1 - 2.sen²x ---> 8.(sen²x)² - 6.sen²x + 1 = 0
Raízes --> 1/4 e 1/2 --->
sen²x = 1/4 ---> senx = ± 1/2 ---> x = pi/6, x = 5.pi/6 , x = 7.pi/6 , x = 11pi/6
sen²x = 1/2 --> senx = ± √2/2 ---> x = pi/4, x = 3.pi/4 , x = 5.pi/4, x = 7.pi/4
cos²(2.x) = 1/2 - 2.sen²x --> 1 - 4.sen²x + 4.(sen²x)² = 1/2 - sen²x --> *2 --->
2 - 8.sen²x + 8.(sen²x)² = 1 - 2.sen²x ---> 8.(sen²x)² - 6.sen²x + 1 = 0
Raízes --> 1/4 e 1/2 --->
sen²x = 1/4 ---> senx = ± 1/2 ---> x = pi/6, x = 5.pi/6 , x = 7.pi/6 , x = 11pi/6
sen²x = 1/2 --> senx = ± √2/2 ---> x = pi/4, x = 3.pi/4 , x = 5.pi/4, x = 7.pi/4
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Re: Dúvida sobre as soluções da equação abaixo
por AtomicBlack_ Qua 12 Ago 2020, 22:10
Multiplicando ambos os membros da primeira equação por 2, fica 2cos²(2x)= 1 - 2sin²x. Sendo 1 - 2sin²x = cos(2x), podemos substituir na equação acima e ficar: 2cos²(2x) - cos(2x) = 0 => cos(2x).[2cos(2x) - 1] = 0 => cos(2x) = 0 ou cos(2x) = 1/2. Mas ao resolver dessa forma só obtenho as soluções positivas dessa equação. Oque eu esqueci de fazer nessa resolução?
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