Áreas e P.A
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Áreas e P.A
por reidodrift Ter 04 Ago 2020, 21:47
Um triângulo equilátero, um quadrado e um hexágono regular são tais que suas áreas compõem uma progressão aritmética. Sabendo-se que os perímetros do hexágono e do triângulo são iguais, quanto vale a razão entre o lado do quadrado e o lado do hexágono?
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reidodrift- Iniciante
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Re: Áreas e P.A
por LPavaNNN Ter 04 Ago 2020, 22:33
sendo os lados do triãngulo, quadrado e hexágono, a,b e c respectivamente.
área do triãngulo equilatero = a².sin60/2
área do quadrado= b²
área do hexagono= c².sin60/2 . 6=3c²sin60
a progressão aritmética é então:
[latex]\dfrac{a^2\sqrt 3}{4},b^2,\dfrac{3\sqrt 3 c^2}{2}[/latex]
o perímetro do hexágono e do triângulo são iguais: 6c=3a-->a=2c
a pa agrora é:
[latex]\dfrac{4c^2\sqrt 3}{4},b^2,\dfrac{3\sqrt 3 c^2}{2}[/latex]
numa pa, a subtração entre termos consecutivos são iguais:
d3-d2=d2-d1
d3+d1=2d2
então:
[latex]\dfrac{4c^2\sqrt 3}{4}+\dfrac{3\sqrt 3 c^2}{2}=2b^2[/latex]
dividindo ambos lados por c²:
[latex]\dfrac{4\sqrt 3}{4}+\dfrac{3\sqrt 3 }{2}=2\dfrac{b^2}{c^2}\\\dfrac{b}{c}=\sqrt{\dfrac{10\sqrt 3}{8}}[/latex]
área do triãngulo equilatero = a².sin60/2
área do quadrado= b²
área do hexagono= c².sin60/2 . 6=3c²sin60
a progressão aritmética é então:
[latex]\dfrac{a^2\sqrt 3}{4},b^2,\dfrac{3\sqrt 3 c^2}{2}[/latex]
o perímetro do hexágono e do triângulo são iguais: 6c=3a-->a=2c
a pa agrora é:
[latex]\dfrac{4c^2\sqrt 3}{4},b^2,\dfrac{3\sqrt 3 c^2}{2}[/latex]
numa pa, a subtração entre termos consecutivos são iguais:
d3-d2=d2-d1
d3+d1=2d2
então:
[latex]\dfrac{4c^2\sqrt 3}{4}+\dfrac{3\sqrt 3 c^2}{2}=2b^2[/latex]
dividindo ambos lados por c²:
[latex]\dfrac{4\sqrt 3}{4}+\dfrac{3\sqrt 3 }{2}=2\dfrac{b^2}{c^2}\\\dfrac{b}{c}=\sqrt{\dfrac{10\sqrt 3}{8}}[/latex]
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Re: Áreas e P.A
por Elcioschin Ter 04 Ago 2020, 22:43
t = lado do triângulo ---> St = t².√3/4
q = lado do quadrado ---> Sq = q²
h = lado do hexágono ---> Sh = 6.h².√3/4
PA ---> a1 = t².√3/4 ---> a2 = q² ---> a3 = 6.h².√3/4
a1 + a3 = 2.a2
t².√3/4 + 6.h².√3/4 = 2.q² ---> I
p(t) = p(h) ---> 3.t = 6.h ---> t = 2.h ---> II
II em I ---> calcule q/h
q = lado do quadrado ---> Sq = q²
h = lado do hexágono ---> Sh = 6.h².√3/4
PA ---> a1 = t².√3/4 ---> a2 = q² ---> a3 = 6.h².√3/4
a1 + a3 = 2.a2
t².√3/4 + 6.h².√3/4 = 2.q² ---> I
p(t) = p(h) ---> 3.t = 6.h ---> t = 2.h ---> II
II em I ---> calcule q/h
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