Trigonometria
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Trigonometria
por Breno1 Sáb 01 Ago 2020, 11:55
O valor numérico da expressão:
(A) 1/4 (B) 1/2 (C) 1 (D) √3/2 (E) √2/2
(A) 1/4 (B) 1/2 (C) 1 (D) √3/2 (E) √2/2
Última edição por Breno1 em Sáb 01 Ago 2020, 12:55, editado 1 vez(es)
Breno1- Recebeu o sabre de luz
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Re: Trigonometria
por Take me down Sáb 01 Ago 2020, 12:40
Olá, Breno1,
Seja z = cis(π/7).
Como z^7 + 1 = (z + 1)(z^6 - z^5 + z^4 - z^3 + z^2 - z + 1) e z^7 = - 1,
temos que
(z + 1)(z^6 - z^5 + z^4 - z^3 + z^2 - z + 1) = 0.
Como z + 1 ≠ 0, então z^6 - z^5 + z^4 - z^3 + z^2 - z + 1 = 0
Dividimos por z^3 a expressão anterior, obtendo
z³ - z² + z - 1 + (1/z) - (1/z²) + (1/z³) = 0.
Logo,
cis(3π/7) - cis(2π/7) + cis(π/7) + cis(-π/7) - cis(-2π/7) + cis(-3π/7) = 1
Abrindo em cis(a) = cos(a) + isen(a) e sabendo da paridade das funções sen e cos, temos
cos(3π/7) - cos(2π/7) + cos(π/7) + cos(π/7) - cos(2π/7) + cos(3π/7) = 1
Logo, 2.(cos(3π/7) - cos(2π/7) + cos(π/7)) = 1
---> cos(3π/7) - cos(2π/7) + cos(π/7) = 1/2
Abs
Seja z = cis(π/7).
Como z^7 + 1 = (z + 1)(z^6 - z^5 + z^4 - z^3 + z^2 - z + 1) e z^7 = - 1,
temos que
(z + 1)(z^6 - z^5 + z^4 - z^3 + z^2 - z + 1) = 0.
Como z + 1 ≠ 0, então z^6 - z^5 + z^4 - z^3 + z^2 - z + 1 = 0
Dividimos por z^3 a expressão anterior, obtendo
z³ - z² + z - 1 + (1/z) - (1/z²) + (1/z³) = 0.
Logo,
cis(3π/7) - cis(2π/7) + cis(π/7) + cis(-π/7) - cis(-2π/7) + cis(-3π/7) = 1
Abrindo em cis(a) = cos(a) + isen(a) e sabendo da paridade das funções sen e cos, temos
cos(3π/7) - cos(2π/7) + cos(π/7) + cos(π/7) - cos(2π/7) + cos(3π/7) = 1
Logo, 2.(cos(3π/7) - cos(2π/7) + cos(π/7)) = 1
---> cos(3π/7) - cos(2π/7) + cos(π/7) = 1/2
Abs
Take me down- Padawan
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