Mecânica- Questão 2

Um barco de massa m e velocidade inicial v0 é freiado por uma força resistiva dada
por F (v )=−be^αv
, com b e α sendo constantes positivas. Determine o tempo que é necessário e
qual a distância percorrida pelo barco até este parar.

Tem-se:

[latex]F=\frac{dp}{dt}=\frac{m\cdot dv}{dt}=-b\cdot e^{\alpha \cdot v}\Rightarrow \frac{dv}{e^{\alpha \cdot v}}= -\frac{b}{m}\cdot dt[/latex]


Integrando:


[latex]\int_{v_{0}}^{0}\frac{dv}{e^{\alpha \cdot v}}= \int_{0}^{t}-\frac{b}{m}\cdot dt \Rightarrow \left [ -\frac{e^{-\alpha \cdot v}}{\alpha } \right ]\Big|_{v_{0}}^0 = \left [ -\frac{b}{m}\cdot t \right ]\Big|_{0}^t[/latex]



[latex]\left [ -\frac{e^{-\alpha \cdot v}}{\alpha } \right ]\Big|_{v_{0}}^0 = \left [ -\frac{b}{m}\cdot t \right ]\Big|_{0}^t\Rightarrow \frac{e^{-\alpha \cdot v_{0}}}{\alpha }-1=-\frac{b}{m}\cdot t[/latex]



[latex]\frac{e^{-\alpha \cdot v_{0}}}{\alpha }-1=-\frac{b}{m}\cdot t \Rightarrow \frac{b}{m}\cdot t =1 - \frac{e^{-\alpha \cdot v_{0}}}{\alpha }[/latex]



[latex] t =\frac{m}{b}\cdot \left (1 - \frac{e^{-\alpha \cdot v_{0}}}{\alpha } \right )[/latex]