Dúvida calculo volume do sólido, integral tripla
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Dúvida calculo volume do sólido, integral tripla
por LUC4S2601 Qui 07 maio 2020, 15:06
Determine o volume do sólido que está dentro tanto do cilindro x2+y2=1
como da esfera x2+y2+z2=4.
Vou descrever a minha dúvida:
Transformado as integrais para coordenadas cilindricas. Duvida: como tenho que x2+y2+z2=4, na hora do calculo eu tenho q isolar o z e essa sera a minha funçao ou so calculo com o valor r dzdrdo.
\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{1}\int_{-2}^{2}rdz dr d\theta
ou
\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{1}\int_{-2}^{2}\sqrt{4-r^{2}} rdz dr d\theta
ou
\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{1}\int_{-\sqrt{4-r^{2}}}^{\sqrt{4-r^{2}}}\ rdz dr d\theta
como da esfera x2+y2+z2=4.
Vou descrever a minha dúvida:
Transformado as integrais para coordenadas cilindricas. Duvida: como tenho que x2+y2+z2=4, na hora do calculo eu tenho q isolar o z e essa sera a minha funçao ou so calculo com o valor r dzdrdo.
ou
ou
Última edição por LUC4S2601 em Sex 08 maio 2020, 12:34, editado 1 vez(es)
LUC4S2601- Iniciante
- Mensagens : 6
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Re: Dúvida calculo volume do sólido, integral tripla
por Giovana Martins Sex 08 maio 2020, 08:25
Ao isolar o z você obtém um dos limites de integração. Daí é só desenvolver a integral conforme a sua última suposição.
- Spoiler:
\\\mathrm{x=rcos(\theta )\ e\ y=rsen(\theta )\ \therefore \ x^2+y^2+z^2=r^2+z^2=4}\\\\\mathrm{Limitantes:\ 0\leq \theta \leq 2\pi , 0\leq r\leq 1,-\sqrt{4-r^2}\leq z\leq \sqrt{4-r^2}}\\\\\mathrm{Jacobiano:\ J=\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,z)}=\begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial r} &\frac{\partial x}{\partial \theta } \\
\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta }
\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}
\mathrm{cos(\theta )} &\mathrm{-rsen(\theta )} \\
\mathrm{sen(\theta )} & \mathrm{rcos(\theta )}
\end{vmatrix}=r}\\\\\mathrm{\underset{\Omega }{\int \int \int}f(x,y,z)dxdydz=\underset{\Omega _{r\theta z}}{\int \int \int }f(rcos(\theta ),rsen(\theta ),z)|J|drd\theta dz}\\\\\mathrm{V=\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{1}\int_{-\sqrt{4-r^2}}^{\sqrt{4-r^2}}rdrd\theta dz\to \boxed {\mathrm{V=\frac{4\pi }{3}\left ( 8-\sqrt{27} \right )}}}
Giovana Martins- Grande Mestre
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