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escola naval 2019/2020

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Mensagem por aspiramello Dom 08 Mar 2020, 21:53

Seja z um número complexo da forma z = a + ib, no qual i é a unidade imaginária. Seja k e R de modo que k é o menor limitante superior para  escola naval 2019/2020 0de0b59f62c6a049bc72. quando |z| = 2. Sendo assim, assinale a opção que apresenta o intervalo ao qual k pertença.
 (A) [0,1]
 (B) [1,3/2 ]
 (C) [1/2,1]
 (D) [3/2,2]
 (E) [2,3] 



resp: C

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escola naval 2019/2020 Empty Re: escola naval 2019/2020

Mensagem por SilverBladeII Sab 23 Jan 2021, 20:10

olá amigo, talvez haja um erro no seu gabarito. Veja, mesmo que o item C seja verdadeiro, isso torna o item A verdadeiro e então há dois gabaritos.

Mesmo assim, talvez o item C não esteja correto:

Como 
[latex]\left|\frac{-1}{z^4+3z^2+2}\right|=\frac{1}{|z^4+3z^2+2|}[/latex] e
[latex]|z^4+3z^2+2|\geq 0[/latex],

basta encontrar o maior limitante inferior (e torcer pra não ser 0) de
[latex]|z^4+3z^2+2|[/latex].
Ora, 
[latex]|z^4+3z^2+2|=|z^2+2|\cdot|z^2+1|[/latex].
Além disso, pela desigualdade triangular, 
[latex]|z^2+2|\geq|z|^2-2=2>0[/latex]
e
[latex]|z^2+1|\geq|z|^2-1=3>0[/latex],

de modo que 
[latex]|z^2+2|\cdot|z^2+1|\geq 6[/latex], 
para todo [latex]z[/latex] satisfazendo as condições do enunciado, e a igualdade ocorre quando [latex]z=\pm2i[/latex], de modo que temos o nosso ínfimo (e maior que 0, ufa!)
Assim, o menor limitante superior do conjunto dado no enunciado é 
[latex]\frac{1}{6}[/latex].
O único item que tem um intervalo contendo  [latex]1/6[/latex] é o A.
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