escola naval 2019/2020
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escola naval 2019/2020
por aspiramello Dom 08 Mar 2020, 21:53
Seja z um número complexo da forma z = a + ib, no qual i é a unidade imaginária. Seja k e R de modo que k é o menor limitante superior para 
. quando |z| = 2. Sendo assim, assinale a opção que apresenta o intervalo ao qual k pertença.
(A) [0,1]
(B) [1,3/2 ]
(C) [1/2,1]
(D) [3/2,2]
(E) [2,3]
resp: C
. quando |z| = 2. Sendo assim, assinale a opção que apresenta o intervalo ao qual k pertença.(A) [0,1]
(B) [1,3/2 ]
(C) [1/2,1]
(D) [3/2,2]
(E) [2,3]
resp: C
aspiramello- Iniciante
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Re: escola naval 2019/2020
por SilverBladeII Sáb 23 Jan 2021, 20:10
olá amigo, talvez haja um erro no seu gabarito. Veja, mesmo que o item C seja verdadeiro, isso torna o item A verdadeiro e então há dois gabaritos.
Mesmo assim, talvez o item C não esteja correto:
Como
[latex]\left|\frac{-1}{z^4+3z^2+2}\right|=\frac{1}{|z^4+3z^2+2|}[/latex] e
[latex]|z^4+3z^2+2|\geq 0[/latex],
basta encontrar o maior limitante inferior (e torcer pra não ser 0) de
[latex]|z^4+3z^2+2|[/latex].
Ora,
[latex]|z^4+3z^2+2|=|z^2+2|\cdot|z^2+1|[/latex].
Além disso, pela desigualdade triangular,
[latex]|z^2+2|\geq|z|^2-2=2>0[/latex]
e
[latex]|z^2+1|\geq|z|^2-1=3>0[/latex],
de modo que
[latex]|z^2+2|\cdot|z^2+1|\geq 6[/latex],
para todo [latex]z[/latex] satisfazendo as condições do enunciado, e a igualdade ocorre quando [latex]z=\pm2i[/latex], de modo que temos o nosso ínfimo (e maior que 0, ufa!)
Assim, o menor limitante superior do conjunto dado no enunciado é
[latex]\frac{1}{6}[/latex].
O único item que tem um intervalo contendo [latex]1/6[/latex] é o A.
Mesmo assim, talvez o item C não esteja correto:
Como
[latex]\left|\frac{-1}{z^4+3z^2+2}\right|=\frac{1}{|z^4+3z^2+2|}[/latex] e
[latex]|z^4+3z^2+2|\geq 0[/latex],
basta encontrar o maior limitante inferior (e torcer pra não ser 0) de
[latex]|z^4+3z^2+2|[/latex].
Ora,
[latex]|z^4+3z^2+2|=|z^2+2|\cdot|z^2+1|[/latex].
Além disso, pela desigualdade triangular,
[latex]|z^2+2|\geq|z|^2-2=2>0[/latex]
e
[latex]|z^2+1|\geq|z|^2-1=3>0[/latex],
de modo que
[latex]|z^2+2|\cdot|z^2+1|\geq 6[/latex],
para todo [latex]z[/latex] satisfazendo as condições do enunciado, e a igualdade ocorre quando [latex]z=\pm2i[/latex], de modo que temos o nosso ínfimo (e maior que 0, ufa!)
Assim, o menor limitante superior do conjunto dado no enunciado é
[latex]\frac{1}{6}[/latex].
O único item que tem um intervalo contendo [latex]1/6[/latex] é o A.
SilverBladeII- Matador
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