Equações Irracionais

Resolva a equação:
\frac{x + \sqrt{3}}{\sqrt{x} + \sqrt{x + \sqrt{3}}} + \frac{x - \sqrt{3}}{\sqrt{x} - \sqrt{x - \sqrt{3}}} = \sqrt{x}

Gabarito:

O que fiz foi o seguinte:

\begin{cases}
a=x+\sqrt{3} \\
b=x-\sqrt{3}
\end{cases}

A equação fica:

\frac{a}{\sqrt{x}+\sqrt{a}} + \frac{b}{\sqrt{x}-\sqrt{b}}=\sqrt{x} \\
\frac{a\sqrt{x}-a\sqrt{b}+b\sqrt{x}+b\sqrt{a}}{x+\sqrt{ax}-\sqrt{bx}-\sqrt{ab}} = \sqrt{x} \\
a\sqrt{x}-a\sqrt{b}+b\sqrt{x}+b\sqrt{a} = x\sqrt{x} + x\sqrt{a} - x\sqrt{b} - \sqrt{xab} \\
a\sqrt{x} +b\sqrt{x} - x\sqrt{x} + \sqrt{xab} + b\sqrt{a} - x\sqrt{a} - a\sqrt{b} + x\sqrt{b} = 0 \\
\sqrt{x}(a + b - x + \sqrt{ab}) + \sqrt{a}(b - x) - \sqrt{b}(a - x) = 0 \\

Observe que:

\begin{cases}
a - x = \sqrt{3} \\
b - x = -\sqrt{3} \\
a + b - x = x \\
\end{cases}

Temos então:

\sqrt{x}(x+\sqrt{x^2 - 3}) + \sqrt{x + \sqrt{3}}(-\sqrt{3}) - \sqrt{x - \sqrt{3}}(\sqrt{3}) \\
x\sqrt{x} + \sqrt{x^3 - 3x} - \sqrt{3x + 3\sqrt{3}} - \sqrt{3x - 3\sqrt{3}} = 0 \\
\bigg(\sqrt{x^3} + \sqrt{x^3 - 3x}\bigg)^2 = \bigg(\sqrt{3x + 3\sqrt{3}} + \sqrt{3x - 3\sqrt{3}}\bigg) ^2 \\
x^3 + x^3 - 3x + 2\sqrt{x^6 - 3x^4} = 3x + 3\sqrt{3} + 3x - 3\sqrt{3} + 2\sqrt{9x^2 - 27} \\
2x^3 + 2\sqrt{x^6 - 3x^4} = 6x + 6\sqrt{x^2 - 3} \\
x^3 + \sqrt{x^6 - 3x^4} = 3x + 3\sqrt{x^2 - 3} \\
\big(\sqrt{x^6 - 3x^4}\big)^2 = \big((3x - x^3) + 3\sqrt{x^2 - 3}\big) ^2 \\
x^6 - 3x^4 = (3x - x^3)^2 + 9(x^2 - 3) + 2(3x - x^3)(3\sqrt{x^2 - 3}) \\
x^6 - 3x^4 = 9x^2 + x^6 - 6x^4 + 9x^2 - 27 + (18x - 6x^3)\sqrt{x^2 - 3} \\
\frac{3x^4 - 18x^2 + 27}{18x - 6x^3} = \sqrt{x^2-3} \\
\frac{x^4 - 6x^2 + 9}{6x - 2x^3} = \sqrt{x^2 - 3} \\
\sqrt{x^2 - 3} = \frac{(x^2 -3)^2}{-2x(x^2 - 3)} \\
x^2 - 3 = \frac{(x^2 -3)^4}{4x^2(x^2 -3)} \\
4x^2(x^2 -3)^2 = (x^2 - 3)^4 \\


\big(x^2 - 3\big)\big(4x^2 - (x^2 - 3) ^2\big) = 0 \\
\big(x^2 - 3\big)\big(4x^2 - (x^4 - 6x^2 + 9)\big) = 0 \\
\big(x^2 - 3\big)\big(-x^4 + 10x^2 - 9\big) = 0 \\
\big(x^2 - 3\big)\big(-1(x^4 - 10x^2 + 9)\big) = 0 \\
\big(x^2 - 3\big)\big(-1(x^2 - 1)(x^2 - 9)\big) = 0 \\
(x^2 - 3)(1 - x^2)(x^2 - 9) = 0 \\
\begin{cases}
x^2 - 3 = 0  \implies x = \pm \sqrt{3} \\
\lor \\
1 - x^2 = 0 \implies x = \pm 1 \\
\lor \\
x^2 - 9 = 0 \implies x = \pm 3
\end{cases}
\\
\color{red}\text{Nenhum dos valores de x encontrados correspondem com o gabarito}

Racionalizar o denominador é uma boa ideia. Observe que o domínio é x ≥ √3. Depois de fazer isso e multiplicar os dois lados por √3, você obtém: 

                                    

que pode ser reescrito como
 
                                                              
 
Então, elevando ambos os lados ao quadrado (uma vez que são positivos, o quadrado produz uma equação equivalente):

                                                    

                                                                       

Se você pegar a derivada de f (x) = 2x^3 + 2 (x^2  -3)^{3/2} - 9x e usar esse x ≥ √3, segue-se que  f '(x)> 0. Isso significa que f (x) está aumentando estritamente no intervalo  x ≥ √3, e a equação não possui mais que 1 raiz. Podemos verificar que  x = 2 é uma raiz, então essa é a resposta final.


Extra: Se você não estiver familiarizado com derivadas, escreva a última equação como 2(x^2−3)^{3/2} = 9x - 2x^3, depois eleve ao quadrado e substitua t = x^2.