Semicircunferência inscrita em um quadrado

ABCD é um quadrado de lado 4, calcule a área hachurada:


a) \frac{76\pi}{45}-\frac{16}{17}

b) \frac{11\pi}{6}-1

c) \frac{11\pi}{6}-\frac{16}{18}

d) \frac{11}{6}+\pi

Não possuo gabarito.

Usando Geometria Analítica:


Sejam A(0, 0), B(0, 4), C(4, 4), D(4, 0) e P o centro da semicircunferência λ ---> P(0, 2)
Seja E(xE, yE) o ponto entre B e C, que origina a reta DE tangente à λ no ponto T(xT, yT)
Seja F(xF, yF) o ponto de encontro da reta AE com λ

Equação de circunferência de centro P(0, 2) e raio R = 2 ---> (x - 0)² + (y - 2²) = 2² ---> x² + y² - 4.y = 0

Equação da reta DE, que passa por D(4, 0) e tem coeficiente angular m ---> y - 0 = m.(x - 4) ---> y = m.x - 4.m

Substitua y da reta na equação de λ e chegue numa equação do 2º grau

Como a reta é tangente a λ, a equação do equação do 2º grau tem duas raízes iguais ---> ∆ = 0 

Calcule as coordenadas do ponto T de tangência e calcule m e escreva a equação final da reta

Calcule o ponto de encontro E da reta DE com a reta y = 4 (lado superior do quadrado)

Calcule a equação da reta AE, o ponto F e o ângulo BÂE = BÂF

Tente continuar.

Encontrei toda a métrica do problema mas ainda não vejo como calcular a área pedida, os ângulos dos setores circulares no problema são péssimos, não da pra encontrá-los por lei dos cossenos.

Reta tangente DT: y=-\frac{4}{3}x+\frac{16}{3}

Ponto T: \left(\frac{8}{5},\frac{16}{5}\right)

Ponto E (reta DT Ո reta BC): (1,4)

\overline{ET}=1, \overline{DT}=4, \overline{CE}=3, \overline{BE}=1

Reta AE: y=4x

Ponto F (reta AE Ո círc. λ): \left(\frac{16}{17},\frac{64}{17}\right)

\overline{AE}=\sqrt{17}, \overline{AF}=\frac{16\sqrt{17}}{17}

Lookez

andei dando uma "xeretada" superficial nesta questão.

Esta é daquelas ideais para se iniciar com geometria analítica e concluir com cálculo integral. Por geometria plana terá uma infinidade de desenhos com pedaços de área e soma pedaço, subtrai de outro pedaço... um quebra-cabeças árduo.

Os ângulos, como você percebeu, são padastros.

Também estranho as alternativas. Esperava termos com pi (que aparecem) e termos com algo tipo arctg ou arcsen (justamente por causa daqueles angulos), porém aparecem apenas números naturais nas razões! -- isso me assusta bastante.

onde obtiveste essa questão?

Encontrei em outro fórum, foi dada uma solução mas me parece pouco justa, logo de começo já utiliza uma aproximação para calcular o ângulo cuja tangente é 1/2:


Link na imagem: https://www.youtube.com/watch?v=f9V9-MmAKSA

Tópico: https://www.tutorbrasil.com.br/forum/viewtopic.php?t=76793