[MOD]Circunferência inscrita em um quadrado

Qual a área da região rachurada, sabendo que o arco AC é 1/4 da circunferência com centro em D ?????
Infelizmente não possuo gabarito

*e as alternativas???

Sorry - atrapalhado com teclado (USA)
squeci de mencionar . O raio do setor circular =a, e a formula da area do setor S=(alfa).R²/2  , sendo alfa o ang. em rd ou seja alfa =90 graus=pi/2

raimundo pereira escreveu:
Sorry - atrapalhado com teclado (USA)
squeci de mencionar . O raio do setor circular =a, e a formula da area do setor S=(alfa).R²/2  , sendo alfa o ang. em rd ou seja alfa =90 graus=pi/2

Raimundo, poderia verificar a ssolução..Creio que sua expressão para S3 não daria a o valor da área sombreada. Área quadrado -(Área do setor + Área roxa) =Área sombreada
S1+S2+S3+S4+S5+S6+S7+S8-(S1+S5+S6+S7+S1+S2+S3+S4+S5+S6)=S8
S1+S2+S3+S4+S5+S6+S7+S8- (2S1+S2+S3+S4+2S5+2S6+S7)=S8
2S1+2S5+2S6=0????

Olá, vi que a questão foi respondida recentemente e resolvi tentar novamente o problema, após alguns anos. Eu vi essa questão em algum fórum também, como desafio, por isso ela não tinha alternativas (nem resolução).

Vou recorrer à geometria analítica e ao cálculo para resolvê-la.

Temos que a circunferência maior tem centro em (0,0) e raio a. Já a circunferência menor tem centro em (a/2, a/2) e raio a/2.

Equação C1: [latex]x^2 + y^2 = a^2[/latex]
Equação C2: [latex](x-\frac{a}{2})^2 + (y - \frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{4}[/latex]

Arco superior C1: [latex]f(x) = \sqrt{a^2-x^2}[/latex]
Arco superior C2: [latex]g(x) = \frac{a}{2}+\sqrt{\frac{a^2}{4}-(x-\frac{a}{2})^2}[/latex]
Arco inferior C2: [latex]h(x) = \frac{a}{2}-\sqrt{\frac{a^2}{4}-(x-\frac{a}{2})^2}[/latex]

Pelo desenho do petras, façamos H e G as interseções das circunferências C1 e C2.

Podemos encontrar as coordenadas x desses pontos fazendo
[latex]\sqrt{a^2 - x^2} = \frac{a}{2} - \sqrt{\frac{a^2}{4}-(x-\frac{a}{2})^2}[/latex]

Desenvolvendo a equação encontramos: [latex]32x^2-40ax+9a^2=0[/latex]

[latex]H = (\frac{5a-a\sqrt{7}}{8},\frac{5a+a\sqrt{7}}{8}) [/latex]
[latex]G = (\frac{5a+a\sqrt{7}}{8},\frac{5a-a\sqrt{7}}{8}) [/latex]

Temos também: J = (a, a/2)

Iremos encontrar 4 áreas para encontrarmos a área total desejada.

[latex]S_{1} =\int_{x_{H}}^{x_{J}}g(x) dx = \int_{\frac{5a-a\sqrt{7}}{8}}^{a} (\frac{a}{2}+\sqrt{\frac{a^2}{4}-(x-\frac{a}{2})^2})dx[/latex]
[latex]S_{2} = \int_{\frac{a}{2}}^{a} h(x) dx= \int_{\frac{a}{2}}^{a} (\frac{a}{2}-\sqrt{\frac{a^2}{4}-(x-\frac{a}{2})^2})dx[/latex]
[latex]S_{3} = \int_{x_{H}}^{x_{G}} [f(x) - h(x)]dx = \int_{\frac{5a -a \sqrt{7}}{8}}^{\frac{5a +a \sqrt{7}}{8}} \sqrt{a^2-x^2} - (\frac{a}{2}-\sqrt{\frac{a^2}{4}-(x-\frac{a}{2})^2}) dx[/latex]
[latex]S_{4} = \int_{x_{C}}^{\frac{a}{2}} h(x)dx = \int_{\frac{5a -a \sqrt{7}}{8}}^{\frac{a}{2}} (\frac{a}{2}-\sqrt{\frac{a^2}{4}-(x-\frac{a}{2})^2})dx[/latex]

[latex]S_{total} = S_{1} - S_{2} - S_{3} - S_{4}[/latex]


Essas integrais não são tão complicadas, elas saem por substituição trigonométrica, a parte mais trabalhosa mesmo é substituir pelos limites de integração. Pode se resolver fazendo as seguintes substituições:

[latex]u = x - \frac{a}{2} \rightarrow du = dx[/latex]
[latex]u = \frac{a}{2} sen \o \rightarrow u^2 = \frac{a^2}{4}sen^2\o[/latex]
[latex]du = \frac{a}{2} cos \o d\o [/latex]

Chegamos portanto no seguinte resultado:
[latex]S_{total} = \frac{a^2}{32} (4\pi + 4\sqrt{7} + 4arcsen(\frac{-\sqrt{7}-1}{4}) +4arcsen(\frac{\sqrt{7}-1}{4}) + 16arcsen(\frac{-\sqrt{7}+5}{8}) -16arcsen(\frac{\sqrt{7}+5}{8})[/latex]
[latex]S_{total} \cong \frac{4.687a^2}{32} \cong 0.1465a^2[/latex]