Razões de segmentos

Na figura abaixo, D é o ponto mèdio do lado AB, CE:ED=5:3  e BF:EF=1:3. Se a área do triângulo ABC é 192 cm², determine a área do triângulo BDF.







Gabarito: 9

Basta usar várias vezes a ideia do colado: em um triângulo, quando uma ceviana o divide em duas partes, as áreas desses dois novos triângulos internos ao original serão proporcionais às duas novas bases geradas pela ceviana.

No △ABC, a mediana CD é uma ceviana, veja que ela divide a antiga base AB em duas novas bases AD e DB de tamanhos iguais pois cai no ponto médio, logo as áreas dos △CAD e △CBD serão também iguais, A = 192/2 = 96.

No △CBD, temos a razão CE/ED = 5/3, considere BE a ceviana, temos que a nova base ED será 3/8 da base total CD, logo a área do △EBD será 3/8 da área total do △CBD, A = 3/8 * 96 = 36.

Finalmente no △EBD, considerando a ceviana DF, temos a razão BF/FE = 1/3, a nova base BF será 1/4 da base total BE, logo a área do △BDF será A = 1/4 * 36 = 9.

OBS: Essa é uma questão da OBMEP, eles providenciam solução comentada: http://www.obmep.org.br/bq/bq2019.pdf

lookez escreveu:Basta usar várias vezes a ideia do colado: em um triângulo, quando uma ceviana o divide em duas partes, as áreas desses dois novos triângulos internos ao original serão proporcionais às duas novas bases geradas pela ceviana.

No △ABC, a mediana CD é uma ceviana, veja que ela divide a antiga base AB em duas novas bases AD e DB de tamanhos iguais pois cai no ponto médio, logo as áreas dos △CAD e △CBD serão também iguais, A = 192/2 = 96.

No △CBD, temos a razão CE/ED = 5/3, considere BE a ceviana, temos que a nova base ED será 3/8 da base total CD, logo a área do △EBD será 3/8 da área total do △CBD, A = 3/8 * 96 = 36.

Finalmente no △EBD, considerando a ceviana DF, temos a razão BF/FE = 1/3, a nova base BF será 1/4 da base total BE, logo a área do △BDF será A = 1/4 * 36 = 9.

OBS: Essa é uma questão da OBMEP, eles providenciam solução comentada: http://www.obmep.org.br/bq/bq2019.pdf

Não conhecia essa propriedade das cevianas, embora agora, depois de descobrir, pareça tão obvia. Obrigado!