ufrgs polinômios

por folettinhomed Sex 13 Set 2019, 21:19

Se n>1 é um número ímpar, então o resto da divisão de (x)^n + (x -1) por (x+1) é:

a) -3
b) -2
c) -1
d) 0
e) 1

Poderiam explicar? Obrigado!!

por **Vitor Ahcor** Sex 13 Set 2019, 21:27

Por congruência modular, temos:

x+1 ≡ 0 mod(x+1)
x ≡ -1 mod(x+1) (*)
x^n ≡ (-1)^n mod(x+1)

Sendo n ímpar, temos:

x^n ≡ -1 mod(x+1) (**)

Além do mais -1 ≡ -1 mod(x+1) (***)

Somando (*), (**) e (***), vem que:

x^n + x -1 ≡ -3 mod (x+1)

Conclusão: x^n + x -1 deixa resto -3 na divisão por x+1, sendo n um número ímpar.

*OBS: Tbm poderia fazer n=3 e efetuar a divisão normalmente.

por folettinhomed Sáb 14 Set 2019, 14:48

Por que igualaria n a 3? Não entendi a solução que você deu, poderia tentar de outra forma? Obrigado!!

por **Vitor Ahcor** Sáb 14 Set 2019, 15:30

Como é uma questão objetiva, podemos "roubar" escolhendo um valor para n, obviamente, convém escolhermos o menor n possível, que é o 3. Porém, se fosse uma questão discursiva, essa resolução não seria válida.

Tomando n=3:

\frac{x^3 + x-1}{x+1} =

=\frac{x^3 +1 + x-2}{x+1} =

=\frac{x^3 +1}{x+1} + \frac{ x-2}{x+1} =

=\frac{(x+1)\times (x^2 -x+1)}{x+1} + \frac{x+1 - 3}{x+1}=

=x^2 -x + 2 + \frac{ - 3}{x+1}

Portanto, o resto é -3.

OBS: Eu utilizei fatoração, mas a divisão poderia ser feita utilizando outro método, como o método da chave.