Velocidade relativa

Dois trens partem de um mesmo tempo, na  mesma direção mas em linhas diferentes, horários diferentes e velocidade diferentes. O primeiro trem parte ás 2 horas com velocidade de 80 km/h. Ás 2:40 parte um segundo trem, na mesma direção, com velocidade de 120 km/h. A que horas o segundo trem ultrapassará o primeiro.

Pergunta: Repetir o problema anterior, nas mesmas condições, exceto que às 2:40 o primeiro trem faz uma parada de 20 minutos.


Gabarito: 2h 56 min 40 s

Acho que o enunciado correto deve ser: Dois trens partem de um mesmo local, ....

Estou supondo que o trem A parou e andou novamente, antes de ser ultrapassado pelo trem B.

Como o trem A parou 20 min = 1/3 h, tudo se passa como se ele tivesse saído às 2 h 20 min = 2 h + 1/3 h = 7/3 h

O trem B saiu às 2 h 40 min = 2 h + 2/3 h = 8/3 h

Assim, a diferença real de tempo entre eles vale 8/3 - 7/3 = 1/3 h

Quando B saiu, A já tinha percorrido d = vA.t = 80.(1/3) = 80/3 km

A |------- 80/3 km --------|------------ 80.t -----------|

B |------------------------- 120.t ------------------------|

120.t = 80/3 + 80.t ---> 40.t = 80/3 ---> t = 2/3 h = 40 min

Hora do encontro = 2:40 + 40 = 3:20

Será que o enunciado e o gabarito estão certos? Ou será que eu interpretei errado?

Elcioschin escreveu:Acho que o enunciado correto deve ser: Dois trens partem de um mesmo local, ....

Estou supondo que o trem A parou e andou novamente, antes de ser ultrapassado pelo trem B.

Como o trem A parou 20 min = 1/3 h, tudo se passa como se ele tivesse saído às 2 h 20 min = 2 h + 1/3 h = 7/3 h

O trem B saiu às 2 h 40 min = 2 h + 2/3 h = 8/3 h

Assim, a diferença real de tempo entre eles vale 8/3 - 7/3 = 1/3 h

Quando B saiu, A já tinha percorrido d = vA.t = 80.(1/3) = 80/3 km

A |------- 80/3 km --------|------------ 80.t -----------|

B |------------------------- 120.t ------------------------|

120.t = 80/3 + 80.t ---> 40.t = 80/3 ---> t = 2/3 h = 40 min

Hora do encontro = 2:40 + 40 = 3:20

Será que o enunciado e o gabarito estão certos? Ou será que eu interpretei errado?

Olá,Elcioschin.
Fiz a alteração do enunciado. A primeira pergunta a resposta é 3:30

Agora você já sabe o caminho. Deixo para você completar.

Vou deixar a resolução aqui para quem futuramente buscar essa questão:

O primeiro passo é analisar o quanto o primeiro trem irá percorrer até Às 2h40min, que é quando ele para. 
Como ele inicia o movimento às 2h00min e para às 2h40min, ele ficou 40min em movimento, isso é o mesmo que (2/3) de uma hora. Logo, utilizando a fórmula de velocidade média, podemos descobrir a distância percorrida nesse intervalo de tempo, vem:
V = (d/t).
80 = [d/(2/3)].
80.(2/3) = d.
(160/3) = d.
Logo, percebe-se que o primeiro trem percorreu exatos (160/3) quilômetros das 2h00min às 2h40min.
Agora você deve lembrar que o segundo trem inicia o movimento às 2h30min, ou seja, até 2h40min (horário que o primeiro trem para), ele irá percorrer uma certa distância, devemos descobrir essa distância para averiguarmos qual a distância que separa os dois trens exatamente às 2h40min. 
Para descobrir a distância que o segundo trem percorreu de 2h30min até 2h40min, vamos novamente utilizar a fórmula de velocidade média. Além disso, perceba que ele ficou 10min em movimento, isso é o mesmo que (1/6) de uma hora, logo:
V = (d/t).
120 = [d/(1/6)].
120.(1/6) = d.
20 = d.
Ou seja, às 2h40min temos as seguintes distâncias percorridas:
Trem 1 - (160/3) quilômetros.
Trem 2 - (20) quilômetros. 
Fazendo a diferença da distância percorrida pelo Trem 1 pela percorrida pelo Trem 2, tem-se:
(160/3) - (20) = (100/3)
Portanto, conclui-se que a distância que separa os trens exatamente às 2h40min é a distância de (100/3) quilômetros, ou seja, se o Trem 1 ficasse parado, (100/3) quilômetros seria a distância que o Trem 2 teria que percorrer para alcançá-lo. 
"Ah, então já que o Trem 1 para, basta calcularmos o tempo que o Trem 2 leva para percorrer os (100/3) quilômetros e somarmos esse tempo às 2h40min, certo?"
Cuidado, primeiramente deve-se garantir que de fato o Trem 2 irá ultrapassar o Trem 1 enquanto este estiver parado, para isso, vamos calcular a distância que o Trem 2 percorreria no intervalo de tempo de 20 minutos (tempo que o Trem 1 ficará parado). 
20 minutos é mesmo que (1/3) de hora, logo:
V = (d/t).
120 = [d/(1/3)].
120.(1/3) = d.
40 = d.
Ou seja, em 20 minutos o Trem 2 irá percorrer 40 quilômetros. 
Para sabermos se o Trem 2 ultrapassou ou não o Trem 1, basta subtrairmos 40 quilômetros da distância que os separa, que é de (100/3) quilômetros, se o resultado for positivo, quer dizer que o Trem 2 ainda não ultrapassou, se for negativo, quer dizer que ultrapassou. Fazendo, tem-se:
(100/3) - 40 = (100/3) - (120/3) = (-20/3).
Percebe que deu um valor negativo? Então isso significa que o Trem 2 irá ultrapassar o Trem 1 enquanto este estiver parado, logo, para descobrirmos o tempo que o Trem 2 levará para ultrapassar o 1, basta calcularmos o tempo necessário para ele percorrer (100/3) quilômetros (distância que os separa), logo:
V = (d/t).
120 = [(100/3)/t].
120.t = (100/3).
t = [(100/3)/(120)].
t = (100/3).(1/120).
t = (100/360).
t = (10/36).
t = (5/18).
Como usamos as unidades em quilômetros/hora, o tempo sairá em hora. 
Para converter (5/18) horas para minutos, basta multiplicar por 60, logo:
(5/18).60 = (50/3).
Ou seja, (5/18) horas é o mesmo que (50/3) minutos, porém, podemos ser ainda mais ousados e escrever (50/3) minutos como sendo (48/3) minutos MAIS (2/3) minutos, ou simplesmente 16 minutos (48/3) MAIS (2/3) minutos. 
Para converter (2/3) minutos para segundos, basta multiplicar por 60, sendo assim:
(2/3).60 = 40.
Dessa forma, pode-se concluir que (5/18) horas é o mesmo que 16 minutos e 40 segundos. 
Somando isso com as 2h40min, temos 2h56min40s.