Números complexos - IEZZI

por RoddNig Sex 17 maio 2019, 12:46

Qual é o menor valor do natural positivo n para o qual (√3-i)^n é um numero real? Qual é, nesse caso, o numero real ?

Gabarito: n=6; -64

por SnoopLy Sex 17 maio 2019, 13:15

Uma solução

z=\sqrt{3}-i

\arg(z)=\arctan \frac{b}{a}

\arg(z)=\arctan \frac{-1}{\sqrt3}

\arctan=330^\circ (Pois o complexo se encontra no quarto quadrante)

\sqrt{4}\cdot cis(330^\circ)=z

z=2cis(330^\circ)

z^n=2 cis(n\cdot330^\circ)

Testando alguns valores para n, irá encontrar n=6

Uma outra forma seria fazer

\sin(n\cdot 330^\circ)=0

n\cdot 330^\circ=180\cdot k

n=\frac{18}{33}k

n só é inteiro quando k=11, que resulta em n=6

por **Elcioschin** Sex 17 maio 2019, 13:44

Detalhando um pouco mais a 2ª solução do colega SnoopLy:

z = √3 - i ---> z = 2.[√3/2 - i.(1/2)] ---> z = 2.(cos330º + i.sen330º)

zⁿ = [2.(cos330º + i.sen330º)]ⁿ ---> zⁿ = 2ⁿ.[cos(330º.n) + i.sen(330º.n)]

Para ser real ---> sen(330º.n) = 0 ---> 330º.n = 180º.k ---> n = (6/11).k ---> k = 11 ---> n = 6