Função integral

por Cluuizc Sex 26 Abr 2019, 12:11

Considere a função f(x) = 5x.e^{-x} cujo gráfico está representado abaixo:
a) resolva a integral \int f(x)dx pelo método da integração por partes;

b) calcule a área da figura hachurada;

c) calcule a área total da figura infinita compreendida entre a curva e o eixo x, para x>0

Função integral Dcb723069b6d7a5652bc962a6284cc28

por **Giovana Martins** Sáb 27 Abr 2019, 01:11

Eu estou com muito sono, sendo assim, não detalharei muito os cálculos. Se você não entendê-los, é só falar.

Letra A:

\\\int udv=uv-\int vdu\\\\u=5x\to du=5dx\\\\dv=e^{-x}dx\to v=\int e^{-x}dx\to v=-e^{-x}\\\\\int (5xe^{-x})dx=-5xe^{-x}+5\int e^{-x}dx\\\\\boxed {\int (5xe^{-x})dx=-5xe^{-x}-5e^{-x}+C}

Letra B: supondo que o domínio no qual a área hachura está contido seja 0 ≤ x ≤ 1 (não dá para enxergar a imagem).

\\A=\int_{0}^{1} (5xe^{-x})dx=\left [-5xe^{-x}-5e^{-x} \right ]_{0}^{1}=\boxed {5-\frac{10}{e}}

Letra C:

\\A=\int_{0}^{+\infty}(5xe^{-x})dx=\lim_{t\to +\infty}\int_{0}^{t}(5xe^{-x})dx\\\\A=5\underset{0}{\underbrace{\lim_{t\to +\infty}\left ( -\frac{t}{e^t}-\frac{1}{e^t} \right )}}+\lim_{t\to +\infty}(5)\ \therefore \ \boxed {A=5}

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