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Transformação trigonometria

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Transformação trigonometria Empty Transformação trigonometria

Mensagem por dibasi Sex 01 Mar 2019, 14:19

Simplificando: 4senx.sen(60-x).sem(60+x)
Obtém-se: resposta (sen3x)

dibasi
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Transformação trigonometria Empty Re: Transformação trigonometria

Mensagem por W_Yuri Sex 01 Mar 2019, 18:29

Olá dibasi!

4Sen(x).Sen(60-x).Sen(60+x)

Temos que:
Sen(60-x)=Sen(60).Cos(x)-Sen(x).Cos(60)

Sen(60-x)=[(3Cosx)/2-Sen(x)/2]

E
Sen(60+x)=Sen60.Cos(x)+Sen(x).Cos60

Sen(60+x)=[(3Cosx)/2+Sen(x)/2]


Substituindo na equação:


4Sen(x).[(3Cosx)/2-Sen(x)/2].[(3Cosx)/2+Sen(x)/2]

4Sen(x).[(3Cos²x)/4-Sen²x/4]

Sen(x).[3Cos²x-Sen²x]

3Cos²x.Senx-Sen³x

E esse resultado é exatamente Sen(3x)

Pois:

Sen(x+2x)=Senx.Cos2x+Sen2x.Cosx

Sen(3x)=Senx.(Cos²x-Sen²x)+2Senx.Cosx.Cosx

Sen(3x)=SenxCos²x-Sen³x+2SenxCos²x

Sen(3x)=3SenxCos²x-Sen³x
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Mensagem por al171 Ter 24 Jan 2023, 18:19

\[
\begin{align*}
4\sin(x) \sin(60^\circ - x) \sin(60^\circ + x) & =\frac{4\sin(x) }{2} \left[ \cos(60^\circ - x - (60^\circ + x) ) - \cos( 60^\circ - x + (60^\circ + x) )  \right] \\
& = 2 \sin(x) \left[ \cos(-2x) - \cos(120^\circ)  \right] \\
& = 2\sin(x) \left[ 1 - 2\sin^2(x) + \frac{1}{2}  \right] \\
& = 2\sin(x) \left[ \frac{3}{2} - 2 \sin^2(x) \right] \\
& = 3\sin(x) - 4\sin^3(x)
\end{align*}
\]
Lembrando que
\[
\sin(p) \cdot \sin(q) = \frac{1}{2} \left[ \cos(p-q) - \cos(p+q) \right].
\]
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