Trigonometria-Transformação e Função

por NewtonL Seg 03 Jul 2017, 17:35

Olá pessoal, estava resolvendo uns exercícios do Iezzi e me deparei com essas duas questões:

Estude a variação das seguintes funções reais:

b) f(x) = 8 * sen^2x*cos^2x
Nessa questão eu reduzi a função para f(x) = 2*sen4x , mas no gabarito está :
Período= pi/2 e Imagem: [0;2]

c) h(x) = cos^4x + sen^4x
Gabarito: Período=pi/2 e Imagem:[ ½ ;1]

Me ajudem por favor

por **Euclides** Seg 03 Jul 2017, 17:58

$\\y=8\sin^2x.\cos^2x\\y=2(4.\sin^2x.\cos^2x) \\y=2\left [\sin(2x) \right ]^2$

1. o período de sen² é metade do período de sen
2. a função é sempre positiva entre 0 e 2

$\\y=\cos^4x+\sin^4x\\y=(\sin^2x+\cos^2x)^2-2\sin^2x\cos^2x\\y=1-\frac{1}{2}\sin^2(2x)$

por NewtonL Seg 03 Jul 2017, 19:53

Euclides, poderia me explicar como você encontrou a Imagem? Estou habituado a utilizar esses dois esquemas : f(x) = A + B*sen(C*x) , Im : [A-|B|;A+|B|] e período=2pi/|C|. Mas quando eu aplico na fórmula eu encontro a imagem como [-2;2] .

Desde já agradeço.

por **Euclides** Seg 03 Jul 2017, 19:56

Você precisa lembrar que sen²(a) é sempre positivo e não admite imagem negativa.

por NewtonL Seg 03 Jul 2017, 20:02

Entendi, muito obrigado ! Agora na segunda questão , como você encontrou que -2*sen^2x*cos^2x = -1/2*sen^2(2x) ?

por **Euclides** Seg 03 Jul 2017, 20:08

por NewtonL Seg 03 Jul 2017, 23:42

Muito obrigado, realmente me falta ter essa "sacada" da matemática.

por **Euclides** Seg 03 Jul 2017, 23:50

NewtonL escreveu:Muito obrigado, realmente me falta ter essa "sacada" da matemática.

Eu acho que álgebra abriga uma bos dose de "malandragem". A gente tem de se perguntar "como eu gostaria que isto fosse?" e "o que eu posso fazer para ficar como eu quero?".

Essas coisas a gente vai assimilando devagar e elas vão se tornando uma "bagagem malandra" que ajuda muito.

por Mathematicien Ter 04 Jul 2017, 14:27

Euclides, como você sabia que o período de sen²(x) é a metade do período de sen(x)? Isso já deveria ser um fato decorado para resolver a questão?

E se eu lhe perguntasse, por exemplo, qual é o período de sen³(x)?

por **Euclides** Ter 04 Jul 2017, 15:22

Mathematicien escreveu:Euclides, como você sabia que o período de sen²(x) é a metade do período de sen(x)? Isso já deveria ser um fato decorado para resolver a questão?

E se eu lhe perguntasse, por exemplo, qual é o período de sen³(x)?

$\\\sin^{2n+1}(x)\;\to\;T=2\pi\\\sin^{2n}(x)\;\to\;T=\pi$

mas em qualquer caso você pode usar o que sabe sobre a função fundamental.

$\\\left ( \sin(x) \right )^n=\left ( \sin(x+T) \right )^n$