Quantos são os possiveis valores de n

A medida, em graus, do ângulo interno de um poligono regular de n lados é um número inteiro. Quantos são os possiveis valores de n?

Eu viajei nesta resolução não tenho a mínima certeza se está certo rsrs Gostaria que dessem uma conferida


A soma dos ângulos internos de um poligono de n lados se dá por:

S = 180(n - 2)

Logo cada ângulo x vale:

x = (180n - 360)/n
x = 180 - 360/n

Para que isso seja inteiro, n deve ser um número divisor que 360 maior que 2, pois se n = 2, x = 0, o que não é plausível.
Assim, os próximos divisores (D) de 360 que satisfazem tal condição serão:

D = {3,4,5,6,8,9,10,12,15,18,20,24,30,36,40,45,60,72,90,120,180,360}

Logo estes são os valores de n:

n = {3,4,5,6,8,9,10,12,15,18,20,24,30,36,40,45,60,72,90,120,180,360}

Podemos aleatoriamente escolher um e testar e ver se confere aos critérios do enunciado (valor inteiro para o ângulo).

Seja n = 18:

S = 180(18 - 2) = 2880º
Cada ângulo valerá 2880/18 = 160º --> inteiro

Seja n = 9:

S = 180(9-2) = 1260º
Cada ângulo valerá 1260/9 = 140º --> inteiro

Resposta:

n tem 22 possíveis valores:
{3,4,5,6,8,9,10,12,15,18,20,24,30,36,40,45,60,72,90,120,180,360}

Outro modo, sem necessidade de especificar os divisores:

360 = (2³)*(3²)*(5^1)

Número TOTAL de divisores positivos = (3 + 1)*(2 + 1)*(1 + 1) = 24

Não servem os divisores 1 e 2 ----> Valores de n = 24 - 2 = 22

Élcio, esse método de descobrir os divisores é baseado em o quê? Análise combinatória?
Você poderia me explicar como se faz?

JG

O método é para calcular a quantidade de divisores positivos:

Seja um número N fatorado ---> N = (2^a)*(3^b)*(5^c)*.....

Quantidade de divisores de N = (a + 1)*(b + 1)*(c + 1) .......

ESta fórmula é basada em combinação. Veja um exemplo:

N = 12 ---> N = (2²)*(3^1)

Os expoentes de 2 podem ser 0, 1 e 2 e os expoentes de 3 podem ser 0 e 1 ----> 3*2 = 6

(2^0)*(3^0) = 1
(2^0)*(3^1) = 3
(2^1)*(3^0) = 2
(2^1)*(3^1) = 6
(2^2)*(3^0) = 4
(2^2)*(3^1) = 12

Número de divisores inteiros positivos
ex:
90/2
45/2
15/2
5/5
1.
2¹.3².5¹

ai pra você achar numeros de divisores positivos você faz
(x+1).(x+1).(x+1)
o número que vai substituir o x vai ser o expoente do numero vamos fazer do 90
(1+1).(2+1).(1+1)
3.3.2=12 , quer dizer que o número 90 tem 12 divisores inteiros positivos



Pra você achar a soma dos divisores inteiros positivos
vocÊ faz

N= (A^x+1/A-1).(B(^y+1)-1)/B-1). (C^(Z+1)/c-1)
90=(2^(1+1)-1/2-1).(3^(2+1)-1)/3-1).(5^(1+1)-1/5-1)
90=3.13.6=(234)
A SOMA DOS DIVISORES INTEIROS POSITIVOS É 234

Produto dos divisores inteiros positivos
N: N^(n de divisores/2)
90= 90^12/2
90= 90^6
90=(2.3².5)6
90= 2^6.3^12.5^6