(Simulado - IME) Circunscrição de sólidos

Uma pirâmide quadrangular regular é circunscrita sobre uma esfera de raio r. Encontre o menor valor de sua área de superfície lateral.

Spoiler:

Eu imaginei a seguinte solução, você pode montar um sistema de duas eq. A primeira equação será dada pela igualdade entre o raio da esfera (pegue a relação entre o volume da esfera e seu raio) e sua equivalência na pirâmide quadrangular. Se não me engano nesse caso r = (2/3)h (altura da pirâmide) ou algo assim. Importante que haja essa equivalência, o r visto pela perspectiva do volume da esfera e o r visto pela perspectiva do volume da pirâmide.
A segunda equação será do tipo A(r,h) = (área da superfície lateral). Faça as substituições que achar conveniente.

Com as equações montadas, isole uma incógnita na primeira equação, substitua na segunda. Derive a segunda equação em relação ao que for conveniente e iguale a zero, isso dará algum valor que pode ser substituído nas outras equações, que fornecerão as dimensões das figuras, visando a menor área de superfície lateral. Imagino que uma das soluções sai seguindo uma linha de raciocínio como essa.

Hoje eu tentei fazer algo semelhante a isso que você falou e acabou não dando certo, mas eu fiz de forma meio displicente. Certeza que ali tinha algum erro de conta. Agora eu estou com preguiça de tentar alguma coisa   . Amanhã eu tento algo eu posto por aqui. Muito obrigada, Sergio.

Ainda não tive coragem de retornar para esse problema. Em algum momento eu posto alguns rascunhos que eu fiz.

oi


pensa num G' oposto ao G. FG=b AB=a
a interseccao da esfera com um plano perpendicular a base e que passa por GG' vai fazer um triangulo FGG'.
nesse triangulo, o raio da esfera eh o raio da circunferencia inscrita nesse triangulo.

assim (pr=S): ((2b+a)/2)r=(a/2)V(b^2-(a/2)^2)
isolando um 2ab (que eh a area pedida): 2ab=a^2*(4r^2+a^2)/(4r^2-a^2)=f(a)
derivando em funcao de 'a', se chega na única solução conivente: a=2r*V(1+V2)

ai tu substitui na formula e chega nisso ai

valeu

Obrigada a ambos!