Progressao aritmetica e geometrica

Uma progressão aritmética (P.A.) e uma progressão geométrica (P.G.), cujos termos são inteiros, têm o mesmo primeiro termo e a mesma razão. Se o 5º termo da P.A. é 11 e a diferença entre o 2º termo da P.G. e o 2º termo da P.A. é 1, então o 5º termo da P.G. é:

a) 243 b) 162 c) 95 d) 48 e) 32

leozinho escreveu:Uma progressão aritmética (P.A.) e uma progressão geométrica (P.G.), cujos termos são inteiros, têm o mesmo primeiro termo e a mesma razão. Se o 5º termo da P.A. é 11 e a diferença entre o 2º termo da P.G. e o 2º termo da P.A. é 1, então o 5º termo da P.G. é:

a) 243 b) 162 c) 95 d) 48 e) 32

Boa tarde!

a = primeiro termo de ambas
r = razão de ambas

PA = a, a+r, a+2r, a+3r, a+4r
PG = a, ar, ar², ar³, ar⁴

a+4r = 11

ar - (a+r) = 1
ar - a - r = 1

-a + r(a-1) = 1
a + 4r = 11
-----------------
4r + r(a-1) = 12
r(4+a-1) = 12
r(a+3) = 12
r = 12/(a+3)

a + 4r = 11 → substituímos (r) pelo seu valor acima
a + 4[12/(a+3)] = 11
a + 48/(a+3) = 11 → multiplicamos toda a equação por (a+3)
a(a+3) + 48 = 11(a+3)
a² + 3a +48 = 11a + 33
a² + 3a - 11a + 48 - 33 = 0

a² - 8a + 15 = 0
Δ = (-8 )² - 4*15 = 64 - 60 = 4
√Δ = √4 = ±2

a = (8±2)/2
a' = (8+2)/2 = 10/2 = 5
a" = (8-2)/2 = 6/2 = 3

Aplicando esses valores de (a) na equação de (r), vem:
r'= 12/(5+3) = 12/8 = 3/2
r" = 12/(3+3) = 12/6 = 2

Logo, os possíveis valores para o 5° termo da PG, são:
a'r'⁴ = 5*(3/2)⁴ = 5*(81/16) = 405/16
a"r"⁴ = 3*2⁴ = 3*16 = 48

Como a questão especifica que os termos de ambas as progressões são inteiros, temos:
ar⁴ = 48

Alternativa (d).





Um abraço.