CIRCUNFERÊNCIA

por eestudo2 Ter 20 Nov 2018, 12:46

As retas t e r são perpendiculares entre si e tangentes às circunferências em A. Determine AB em função de BC= a e BD= b

Gabarito: $CIRCUNFERÊNCIA Gif.latex?%5Csqrt%7Ba$

por **Elcioschin** Ter 20 Nov 2018, 12:50

Postagem em desacordo com a Regra IX do fórum. Por favor, EDITe.
E, se tiver o gabarito, poste-o conforme Regra XI.

por eestudo2 Ter 20 Nov 2018, 17:43

Editado.

por **Giovana Martins** Ter 20 Nov 2018, 21:58

\\\hat{D}=\frac{\widehat{AOC}-\widehat{APB}}{2}\to \hat{D}=\frac{\widehat{AOC}}{2}-\frac{\widehat{APB}}{2}\to \\\\ \hat{D}=\frac{\widehat{AOC}}{2}-\hat{C}\to \hat{C}+\hat{D}=\frac{\widehat{AOC}}{2}\ (1)\\\\\hat{C}=\frac{\widehat{AMD}-\widehat{ANB}}{2}\to \hat{C}=\frac{\widehat{AMD}}{2}-\frac{\widehat{ANB}}{2}\to \\\\\hat{C}=\frac{\widehat{AMD}}{2}-\hat{D}\to \hat{C}+\hat{D}=\frac{\widehat{AMD}}{2}\ (2)\\\\(1)=(2)\ \therefore \ \widehat{AOC}=\widehat{AMD}\ \therefore \ \angle ABC=\angle ABD=90^{\circ}\\\\\therefore \ AB=\sqrt{BC.BD}\to \boxed {AB=\sqrt{ab}}

Nota: caso você não entenda a última linha da resolução, pesquise por "relações métricas no triângulo retângulo". Se houver dúvidas ou precisar de uma imagem é só falar.

por **Giovana Martins** Ter 20 Nov 2018, 22:03

Algumas coisas que eu esqueci de dizer:

O: ponto entre os pontos A e C (acima da reta t);
P: ponto entre os pontos A e B (pertencente à circunferência maior);
M: ponto entre os pontos A e D (acima da reta r);
N: ponto entre os pontos A e B (pertencente à circunferência menor).

por dd0123 Ter 20 Nov 2018, 22:46

Olá
Para que eu soubesse responder essa questão qual conteúdo eu deveria ler? É que na realidade eu não entendi nem mesmo a primeira linha da sua resolução. pale

por **Giovana Martins** Ter 20 Nov 2018, 23:37

Oiii, ddmr0123.

Para resolver a questão você precisaria saber isso:

https://www.colegioweb.com.br/angulos-e-arcos-na-circunferencia-potencia-de-ponto/angulos-na-circunferencia.html

https://www.todamateria.com.br/relacoes-metricas-no-triangulo-retangulo/

por **Medeiros** Qua 21 Nov 2018, 00:51

outro modo.

Circunferências cujas tangentes são perpendiculares no ponto de intersecção (e se é num, será no outro) são ditas circunferências ortogonais.

Como o raio é perpendicular à tangente no ponto de tangência, as retas r e t passam pelo centro das respectivas circunferências (O1 e O2).

O segmento que liga os centros O1 e O2 é perpendicular ao segmento secante comum AB (isto é uma propriedade) -----> AB _|_ O1O2 .....(1)

A partir do mesmo ângulo Â os segmentos AB/A01 = AD/AO2 = 2/1; então, pelo teorema de Tales, isto implica que -----> CD // O1O2 ------>de (1)-----> AB _|_ CD.

Portanto o triângulo ABD é retângulo e AB é a altura em relação à hipotenusa. Assim, pela propriedade dos triângulos retângulos (ou, também, pela terceira proporcional num semicirculo):
a/AB = AB/b -----> AB = √(a.b)