círculos tangentes

por **arimateiab** Sáb 09 Jul 2011, 17:48

Dois círculos se tangenciam externamente e tangenciam internamente a um terceiro círculo (veja a ilustração). Se os centros dos três círculos são colineares, e a corda do terceiro círculo que é tangente aos outros dois em seu ponto de tangência, mede x. Demonstre que a área S da região interna ao terceiro círculo e externa aos outros dois é igual a S = x²*pi/8

círculos tangentes Circunferencia

por **Elcioschin** Sáb 09 Jul 2011, 18:48

Sejam:

O, A, B os centros dos círculos em ordem decrescente do tamanho.
P e Q os pontos de tangência dos circulos internos maior e menor, com o círculo externo
M e N as extremidades esquerda e direita da corda
T o ponto de tangência dos dois cpirculos internos
Y, R, r os raios dos círculos em ordem decrescente de tamanhos

OP = OQ = OM = ON = Y
AP = AT = R
BQ = BT = r
MN = x -----> MT = NT = x/2

O problema pede: S = pi*Y² - pi*(R² + r²)

PQ = PT + QT ----> 2Y = 2R + 2r ----> Y = R + r ----> I

OT = PT - OP ----> OT = 2R - Y ----> II

OM² = OT² + MT² ----> Y² = OT² + (x/2)² ----> OT² = Y² - x²/4 -----> III

Basta agora resolver o sistema acima.

por **Euclides** Sáb 09 Jul 2011, 18:53

Uma outra resolução:

círculos tangentes Trak

$\\A_1=\pi (r+R)^2\;\;(1)\hspace{30}A_2=\pi r^2\;\;(2)\hspace{30}A_3=\pi R^2\;\;(3)\\\\\frac{x}{2}\times\frac{x}{2}=2r\times 2R\;\;\Rightarrow \;\frac{x^2}{4}=4rR\;\;\rightarrow \frac{x^2}{8}=2rR\;\;(4)\\\\S=A_1-(A_2+A_3)\;\;\to\;\;S=\pi(r+R)^2-\pi(r^2+R^2)\\\\S=\pi\left ( 2rR \right )\;\;\;\rightarrow \boldsymbol{S=\frac{x^2 \pi}{8}}$