Combinatória (quantidade de soluções)

As soluções inteiras e positivas da equação x.y.z= 30, com x diferentes de y diferente de z são  dadas por ternas ordenadas (a, b, c). Essas soluções são em números de:
A) 4 B) 6 C)24 D)36 E)48

Gabarito: D 
Se possível, por favor, explicar o raciocínio e como generalizar o problema para qualquer equação produto. Obrigado

30 = 2.3.5

2.3.5 ---> 3!
1.6.5 ---> 3!
1.3.10 ---> 3!
1.2.15 ---> 3!

4.3! = 24

Pré-Iteano escreveu:30 = 2.3.5

2.3.5 ---> 3!
1.6.5 ---> 3!
1.3.10 ---> 3!
1.2.15 ---> 3!

4.3! = 24

Mas, por exemplo, para 30 que é um número pequeno a resolução prática sai rápido. Mas, caso fosse um número alto, como chegaria ao resultado de maneira imediata, tipo o número de múltiplos de 378? Sei que consigo colocar o número em fatores primos mas não consigo entender como trabalhar com os fatores para achar o número de soluções.
Obrigado

Sim, deve-se fatorar o número 378 = 2.3³.7

Soluções: 1.2.189, 1.3.126, 1.6.63, 1.9.42, 1.14.27, 1.18.21, 2.3.63, 2.7.27, 2.9.21, 3.6.21, 3.7.18, 3.9.14, 6.7.9

Falta multiplicar cada uma por 3!

As soluções inteiras e positivas da equação 378 = xyz são da forma:
 
x = 2^{\alpha_1} \cdot 3^{\beta_1} \cdot 7^{\delta_1}, \ \ y = 2^{\alpha_2} \cdot 3^{\beta_2} \cdot 7^{\delta_2} \ \ \text{e} \  \ z = 2^{\alpha_3} \cdot 3^{\beta_3} \cdot 7^{\delta_3} 

Em que

\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 1 

\beta_1 + \beta_2 + \beta_3 = 3 

\delta_1 + \delta_2 + \delta_3 = 1 

Há, respectivamente, 3, 10 e 3 soluções inteiras não negativas para as equações apresentadas. 

Assim, o número de soluções inteiras e positivas da equação 378 = xyz  é  3 \times 10 \times 3 = 90 .

No entanto, uma decomposição em três fatores, sendo dois iguais e o outro, diferente, origina três soluções da equação; por exemplo, a decomposição de 378 no produto dos fatores 3, 3 e 42 origina as soluções x = 3, y = 3, z = 42; \ \ x = 3, y = 42, z = 3; \ \  x = 42, y = 3, z = 3. 

Os divisores de 378 que são quadrado perfeitos e, portanto, originam soluções em três fatores, sendo dois iguais e o outro, diferente, são os números da forma 2^{\alpha} \cdot 3^{\beta} \cdot 7^{\delta}, em que \alpha \in {0}, \beta \in  {0,2}, \delta \in  {0}. Há 1 \times 2 \times 1 = 2  divisores de 378 que são quadrados perfeitos e, portanto, 2 decomposições de 378 em três fatores sendo dois iguais e o outro, diferente.

Dessa forma, a resposta é 90 - 3 \times 2 = 84

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30 = xyz

\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3 = 1  

\beta_1 + \beta_2 + \beta_3 = 1  

\delta_1 + \delta_2 + \delta_3 = 1  


3, 3 e 3 soluções inteiras não negativas,


30 = xyz  é  3 \times 3 \times 3 = 27 .


Os divisores de 30 que são quadrado perfeitos, 2^{\alpha} \cdot 3^{\beta} \cdot 5^{\delta} , \alpha \in {0}, \beta \in  {0}, \delta \in  {0}. Há 1 \times 1 \times 1 = 1  divisor de 30 que é quadrado perfeito

27 - 3 \times 1 = 24


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Na solução do mestre Elcio falta o caso  1.7.54

Em nenhum exemplo apareceu cubo perfeito, ou algo maior, mas a ideia é essa aí.