Área de quadrilátero hachurado

Considere o paralelogramo ABCD de área 100cm² da figura a seguir. Sendo M, N, P e Q pontos médios dos lados do paralelogramo, determine a área do quadrilátero hachurado.



R: 20cm²

Pessoal, eu supus o seguinte: visualizando a figura, percebemos, de cara, que ela é composta por 2 paralelogramos: a externa maior e a hachurada. Visualizando mais, percebemos que os dois recortes (um acima e outro abaixo do hachurado) compõem outro paralelogramo. Logo, 3. Visualizando mais, temos que os dois recortes ao lado (sendo um esquerdo e outro direito) do paralelogramo hachurado formam mais outro paralelogramo. Logo, 4. E, por fim, os recortes menores formarão o 5º paralelogramo. Como queremos a área do hachurado, sendo 5 paralelogramos totais: S = 100/5 = 20cm².

Seria isso ? Se não, como resolvemos ? Obrigado.

Vc está certo. Abaixo vai uma outra solução:


Na figura foram estão definidos os pontos adicionais S,T,Q,R, que definem os vértices do quadrilátero interno. 

1. Observe que ∆CQB ≡ ∆ASD, ∆BTA ≡ ∆DRC, 
2. Definindo área de ∆CQB = área de ∆CQB por X  e área ∆BTA = área ∆DRC por Y, e a área do Paralelogramo interno por H, é verdade que
100=2 X + 2 Y + H ou H=100-2(X+Y)  (1)

3. Como ∆CQB ~ ∆NTB ~ ∆PRD e  ∆BTA ~ ∆OQC ~ ∆MSA, e os pontos M, N, O, P são médios nos segmentos, temos que CN/NB=2  e DC/OC=2, assim é verdade que 
área ∆NTB = área ∆PRD= 1/4 X e área ∆OQC = área ∆MSA= 1/4 Y 
conforme indicado na figura.

4. Mas pelas definições nos pontos médios, é evidente que 
área ∆NBA= área ∆PDC = área ∆MAD = área ∆OCB = 1/4 área paralelogramo = 25 (2)

5. Logo, observando (2), temos  X+1/4 Y = 25  e Y+1/4 X =25, de onde obtemos:
X+Y=40 (3)

6. Substituindo (3) em (1) chegamos a H=100 - 2 (40)=20

Portanto a área do quadrilátero interno é 1/5 da área do quadrilátero externo, ou seja, 20 cm2.

Perfeito, amigo. Muito obrigado pela ajuda!!!