Álgebra - (dependência e independência linear)

Olá amigos, estou com um problema em uma questao sobre Dependência e Independência Linear , como vocês resolveriam?

Sejam v1, v2 e v3 vetores oertencentes ao R³ e a, b e c escalares pertencentes aos C. Assim:

Faça a Combinação Linear do vetores v1 = (λ, -1, -1), v2 = (-1, λ, -1) e v3 = (-1, -1, λ) e iguale ao vetor nulo.

Então teremos:

av1 + bv2 + cv3 = 0
(aλ, -a, -a) + (-b, bλ, -b) + (-c, -c, cλ) = (0, 0, 0)

aλ - b - c = 0
-a + bλ - c = 0
-a - b + cλ = 0

Para que os vetores sejam LI o determinante da matriz associada ao sistema deve ser igual a zero.
abcλ³ - abc - abc - abcλ -abcλ - abcλ = 0
abcλ³ - 3abcλ - 2abc = 0 (Dividindo tudo por "abc")
λ³ - 3λ - 2 = 0

Resolvendo essa Equação do 3° Grau você encontrará as raízes que satisfazem a condição:
λ₁ = 2,
λ₂ = - i
ou
λ₃ = i

Todos os três valores de "λ" fazer com que seus vetores sejam L.I., agora você deve observar em qual conjunto estão seus escalares se for os reais (então só vale a primeira raiz), mas se for os complexos valem as três!


Espero ter ajudado,

Aryleudo (Ary).