fuvest triangulos
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malu_paiva2018- Padawan
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Re: fuvest triangulos
por adriano100 Ter 28 Ago 2018, 19:27
Um hexágono regular é formado por 6 triângulos equiláteros.
Nesse caso seriam 6 triângulos equiláteros de lado AB.
Área de um triângulo equilátero com lado AB:
A_T=AB^2\frac{\sqrt{3}}{4}
Portanto a área do hexágono será dada por
A_H=6\times A_T=6\times AB^2\frac{\sqrt{3}}{4}
ou
A_H=AB^2\frac{3\sqrt{3}}{2}
Como a área do hexágono regular é dada temos
A_H=\sqrt{3}=AB^2\frac{3\sqrt{3}}{2}
e podemos resolver AB, chegando a
AB=\frac{\sqrt{6}}{3}
Finalmente no triângulo PAB, considere a base AB. Se chamarmos de h sua altura, temos que
a área desse triângulo (que é dada) será obtida por
(PAB)=\sqrt{2}=(AB\times h)/2
Substituindo AB já encontrado, chegamos a
\sqrt{2}=(\frac{\sqrt{6}}{3}\times h)/2
ou, resolvendo h, chegamos a
h=2\sqrt{3}
Note que h é exatamente a distância entre P e a base AB. Portanto a resposta é (e).
Nesse caso seriam 6 triângulos equiláteros de lado AB.
Área de um triângulo equilátero com lado AB:
Portanto a área do hexágono será dada por
ou
Como a área do hexágono regular é dada temos
e podemos resolver AB, chegando a
Finalmente no triângulo PAB, considere a base AB. Se chamarmos de h sua altura, temos que
a área desse triângulo (que é dada) será obtida por
Substituindo AB já encontrado, chegamos a
ou, resolvendo h, chegamos a
Note que h é exatamente a distância entre P e a base AB. Portanto a resposta é (e).
adriano100- Iniciante
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Re: fuvest triangulos
por W_Yuri Ter 28 Ago 2018, 19:34
Bom Malu..
Como foi dada a área do Hexágono, podemos encontrar quanto vale seu lado:
A área do Hexágono é dada por 6.(L²√3)/4, igualando isso a área dada, temos:
6.(L²√3)/4=√3
3.(L²√3)/2=√3
3.(L²√3)=2√3
3.L²=2
L²=2/3
L=√(2/3)
Com essa informação, e com a área do triângulo que foi dado, podemos encontrar a distância de P até a mediatriz, pois será formado um triângulo isósceles como na figura:
Utilizando a fórmula de área do triângulo e igualando, temos:
(B.h)/2 Onde a base é o próprio lado do Hexágono, como nós o achamos anteriormente, segue:
√(2/3).h/2=√2
√(2/3).h=2√2
h=2√2/√(2/3) Elevando ao quadrado os dois lados:
h²=8/2/3
h²=3.8/2
h²=24/2
h²=12
h=√12 que racionalizando dá 2√3, que temos na letra E.
Como foi dada a área do Hexágono, podemos encontrar quanto vale seu lado:
A área do Hexágono é dada por 6.(L²√3)/4, igualando isso a área dada, temos:
6.(L²√3)/4=√3
3.(L²√3)/2=√3
3.(L²√3)=2√3
3.L²=2
L²=2/3
L=√(2/3)
Com essa informação, e com a área do triângulo que foi dado, podemos encontrar a distância de P até a mediatriz, pois será formado um triângulo isósceles como na figura:
Utilizando a fórmula de área do triângulo e igualando, temos:
(B.h)/2 Onde a base é o próprio lado do Hexágono, como nós o achamos anteriormente, segue:
√(2/3).h/2=√2
√(2/3).h=2√2
h=2√2/√(2/3) Elevando ao quadrado os dois lados:
h²=8/2/3
h²=3.8/2
h²=24/2
h²=12
h=√12 que racionalizando dá 2√3, que temos na letra E.
W_Yuri- Padawan
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