(UF - PE) Ponto?

por playstadion Seg 06 Ago 2018, 22:09

Dada a reta r: 3x-4y +2 = 0 e considere o ponto P (1, 5), pergunta-se: Qual o ponto da reta r que esta mais próximo de P?

a) (5, 1)
b) (5, 17/4)
c)(17/4 , 5)
d) ( 14/5 , 13/5 )
e) ( 13/5, 14/5)

por Emersonsouza Seg 06 Ago 2018, 22:41

Seja B um ponto pertencente à reta r .
A menor distância entre P e B é um seguimento perpendicular à r .
Seja mp o coeficiente angular de r é no o coeficiente angular de PB.
PB é perpendicular a r --> mr*mp= -1
mr=3/4 -->mp=-4/3
Pela equação geral da reta temos (x-1)*(-4/3)=y-5 --> -4x-3y=-19 (1)
r-->3x-4y=-2 (2)
Fazendo um sistema linear com 1 e 2 achamos o ponto de r mais próximo de P.
3x-4y=-2
-4x-3y=-19
X=14/5 E y=13/5
Bom ,espero ter ajudado !!

por **Lucas Pedrosa.** Seg 06 Ago 2018, 23:09

Um método usando derivada:

\\3x-4y+2=0\Rightarrow y=\left ( \frac{3x+2}{4} \right )\\\\P(x;\;y)\Rightarrow P(x;\;\left ( \frac{3x+2}{4} \right ))
Calculando a distância:
\\d=\sqrt{(x-1)^{2}+(y-5)^{2}}\\\\d(x)=\sqrt{(x-1)^{2}+(\left ( \frac{3x+2}{4} \right )-5)^{2}}

Derivando e igualando a zero:
d'(x)=0\Rightarrow \frac{25x}{8}=\frac{35}{4}\Rightarrow x=\frac{14}{5}\;e\;y=\frac{13}{5}

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