[ITA]Trigonometria

por Tyler Durden Sex 27 Jul 2018, 13:41

Seja θ € [0, (π/2)], tal que sen θ+cos θ=m.
Então, o valor de y=[sen(2θ)/sen^3(θ)+cos^3(θ)] será:

a)2[m^(2)-1]/m[4-m^(2)]
b)2[m^(2)+1]/m[4+m^(2)]
c)2[m^(2)-1]/m[3-m^(2)]
d)2[m^(2)-1]/m[3+m^(2)]
e)2[m^(2)+1]/m[3-m^(2)]

por **Elcioschin** Sex 27 Jul 2018, 14:19

Trabalhoso:

senθ + cosθ = m ---> (senθ + cosθ)² = m² ---> sen²θ + cos²θ + 2.senθ.cosθ = m² ---> 2.senθ.cosθ = m² - 1

sen(2.θ) = m² - 1 ---> Calcule cos(2.θ) ---> I

2.senθ.√(1 - sen²θ) = m² - 1 ---> Calcule senθ e depois cosθ ---> II

Calcule sen(3.θ) = sen(2.θ + θ) = sen(2.θ).cosθ + senθ.cos(2.θ) ---> III

Calcule cos(3.θ) = cos(2.θ + θ) = cos(2.θ).cosθ - sen(2.θ).senθ ---> IV

Calcule y

por **Giovana Martins** Sex 27 Jul 2018, 14:24

\\sen^3(x)+cos^3(x)=[sen(x)+cos(x)][sen^2(x)-sen(x)cos(x)+cos^2(x)]\\\\sen^3(x)+cos^3(x)=m[1-sen(x)cos(x)]\\\\y=\frac{sen(2x)}{sen^3(x)+cos^3(x)}=\frac{sen(2x)}{m[1-sen(x)cos(x)]}\\\\m=sen(x)+cos(x)\rightarrow m^2=1+2sen(x)cos(x)=1+sen(2x)\\\\\therefore \ sen(2x)=m^2-1\ e\ sen(x)cos(x)=\frac{m^2-1}{2}\\\\y=\frac{m^2-1}{m\left ( 1-\frac{m2-1}{2} \right )}\rightarrow y=\frac{2(1-m^2)}{m(m^2-3)}\rightarrow \boxed {y=\frac{2(m^2-1)}{m(3-m^2)}}

Confira os cálculos, pois eu não os revisei.

por Tyler Durden Sex 27 Jul 2018, 14:41

Fiz um erro de digitação, não sei se isso influi nas respostas, vou corrigir.

por **Giovana Martins** Sex 27 Jul 2018, 14:46

Não muda nada, não. A propósito, utilize parênteses para definir bem o numerador e o denominador, pois a sua equação é ambígua.

por Tyler Durden Sex 27 Jul 2018, 14:56

Obrigado mesmo, Giovana e Elcio, me ajudaram muito.
Só uma dúvida, Giovana, como você "sacou" que daria pra usar aquele produto ali para "fluir" a expressão?
Veio na hora, ou você se lembrou depois de analisar por um tempo?

por **Giovana Martins** Sex 27 Jul 2018, 15:02

O produto notável da primeira linha da resolução? Na minha mente, quando eu olho duas coisas ao cubo sendo somadas a primeira coisa que eu penso é no produto notável do tipo soma de cubos.

por **Giovana Martins** Sex 27 Jul 2018, 15:04

Agora se for isso aqui: m²=[sen(x)+cos(x)]². Isso foi devido a prática. Não é a primeira vez que eu me deparo com [sen(x)+cos(x)]². Daí eu já sabia que esse quadrado me daria um sen(2x).

por Tyler Durden Sex 27 Jul 2018, 15:26

Giovana Martins escreveu:O produto notável da primeira linha da resolução? Na minha mente, quando eu olho duas coisas ao cubo sendo somadas a primeira coisa que eu penso é no produto notável do tipo soma de cubos.

Esse mesmo.
Obrigado pela ajuda!