Fatoração, polinômios...

Seja x um número real tal que Para cada valor possível de x, obtém-se o resultado da soma de x^2 com seu inverso. Sendo assim, o valor da soma desses resultados é
(A) 5 (B) 4 (C) 3 (D) 2 (E) 1

Gabarito:

x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=(x+\frac{1}{x})^{2}-2\\\\x^{3}+\frac{1}{x^3}+x^{2}+\frac{1}{x^2}+x+\frac{1}{x}+2=0\\\\(x+\frac{1}{x})(x^{2}-1+\frac{1}{x^{2}})+(x+\frac{1}{x})^{2}-2+(x+\frac{1}{x})+2=0\\\\x^{2}-1+\frac{1}{x^{2}}=(x+\frac{1}{x^{2}})-3\\x+\frac{1}{x}=k\\\\\\\\k + k^{2}+k(k^{2}-3)=0\\k(1+k+k^{2}-3)=0\\k(k^{2}+k-2)=0\\\\k_{1}=0\;\;\;\;k_{2}=1\;\;\;\;k_{3}=-2\\\\x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=p^{2}-2\\\\x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=-2\;\; \varnothing \\\\x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=-1\;\; \varnothing\\\\x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=2


A soma dos valores possíveis é 2

Arrumando a expressão, temos que:

\left (x^{3}+\frac{1}{x^{3}}  \right )+\left (x^{2}+\frac{1}{x^{2}}  \right )+\left (x+\frac{1}{x}  \right )+2=0

Vou fazer uma substituição que é bastante importante: x+\frac{1}{x}=y

Isso é bom porque:
y^{2}=\left (x+\frac{1}{x}  \right )^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2.\not{x}.\frac{1}{\not{x}}

e

y^{3}=\left (x+\frac{1}{x}  \right )^{3}=x^3+3.x^{\not{2}}.\frac{1}{\not{x}}+3.\not{x}.\frac{1}{x^{\not{2}}}+\frac{1}{x^{3}}=x^3+\frac{1}{x^{3}}+3\underbrace{ \left (x+\frac{1}{x}  \right )}_{y}  \\              y^{3}-3y=x^3+\frac{1}{x^{3}}

Substituindo temos:

\left (x^{3}+\frac{1}{x^{3}}  \right )+\left (x^{2}+\frac{1}{x^{2}}  \right )+\left (x+\frac{1}{x}  \right )+2= \\ \\ =\underbrace{\left (y^{3}-3y  \right )}_{x^{3}+\frac{1}{x^{3}}}+\underbrace{\left (y^{2}-2  \right )}_{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}}+y+2=0

Agora, temos um polinômio em y: y^{3}+y^{2}-2y=0

Botando o y em evidência:

y(y^{2}+y-2)=0

Agora, y é a soma de um número real pelo seu inverso. Pela desigualdade das médias, o módulo dessa soma tem que ser maior ou igual a 2 para x real, positivo e negativo nesse caso.

y(y^{2}+y-2)=y(y-1)(y+2)=0

Temos os possíveis valores, 

y = 0   Não pode, pois, assim, y não teria seu módulo maior ou igual a 2 (I)

y = 1    Não pode, pois, assim, y não teria seu módulo maior ou igual a 2 (II)

y = -2  Pode,  pois o módulo seria igual a 2.

Nesse caso, x será -1.

Assim, teriamos:

 x^{2}+\frac{1}{x^{2}}= (-1)^{2}+\frac{1}{(-1)^{2}}=2

O argumento do módulo pode ser feito também pelo delta da equação do segundo grau, nesses casos, (I) e (II), o delta é negativo indicando um x não real.

Muito obrigado por me ajudarem!