Exercício de seno, cosseno e tangente

(EN) Se (senx - seny)/(cosx - cosy) = 2 e tgx = 1/3, então tgy é igual a:

a)3
b)1/6
c)0
d)-1/6
e)-3

resposta:

tgx = 1/3 ---> senx/cosx = 1/3 ---> sen²x/cos²x = 1/9 ---> sen²x/(1 - sen²x) = 1/9

Calcule senx e depois calcule cosx

Substitua na equação original e calcule seny em função de cosy

Depois faça sen²y + cos²y = 1 

Calcule cosy e depois seny ---> tgy = seny/cosy

Daria p fazer por prostaferese ?

Infantes escreveu:Daria p fazer por prostaferese ?

Não vejo como ajudaria.
Se trabalhar senx-seny = 2(cosx-cosy)
Por prostaferese, vc no final acha
cos((x+y)/2)sen((x-y)/2)=-2cos((x+y)/2)sen((x-y)/2)
3cos((x+y)/2)sen((x-y)/2)=0         Vc terá de achar senx e cos x da mesma forma, e ainda mais, achar sen(x/2) e cos(x/2), pra resolver um sistema apenas para achar sen e cos do arco metade de y... sem dúvida mais trabalhoso.

O jeito mais fácil é achar sen e cos como o mestre Elcio indicou(eu prefiro desenhar o triangulo retangulo de cateto oposto 1 e adjacente 3). senx=1/raiz10 e cosx=3/raiz10. Substituindo na equação, achamos por fim seny-2cosy = -raiz(10)/2. Eleve a equação ao quadrado, e divida por cos²y
Teremos tg²y-4tgy+4=5/2cos²y
Transforme 1/cos²y em sec²y e transforme sec²y em tg²y+1, resolve a equação para tg²y.

Sabendo que:

• Sen a - Sen b = 2 Sen [(a-b)/2] Cos [(a+b)/2]
  
• Cos a - Cos b = -2 Sen [(a-b)/2] Sen [(a+b)/2]
  

Logo,
    (Sen x - Sen y )/( Cos x - Cos y ) = (2 Sen [(x-y)/2] Cos [(x+y)/2] )/( -2 Sen [(x-y)/2] Sen [(x+y)/2] )
⇒ (Sen x - Sen y )/( Cos x - Cos y ) = - Cotg [(x+y)/2]

• Como (Sen x - Sen y )/( Cos x - Cos y ) =2, temos que:
  

(Sen x - Sen y )/( Cos x - Cos y ) = - Cotg [(x+y)/2] = 2 ⇒ tg [(x+y)/2] = -0,5

Como Tg (x+y) = Tg [(x+y)/2 + (x+y)/2] =(2 Tg [(x+y)/2])/(1 - Tg² [(x+y)/2]) = -1/(1-0,25) = -4/3
-4/3 = Tg (x+y) = (Tg x +Tg y)/(1 - Tg x.Tg y) = (1/3 + Tg y)/( 1-(Tg y)/3) = (1 + 3 Tg y)/(3 - Tg y)
⇒ -4/3 = (1 + 3 Tg y)/(3 - Tg y) ⇒ 3 + 9 Tg y = -12 + 4 Tg y ⇒ Tg y = -3
Resposta: E