ITA-71) P.G

Uma progressão geométrica de 3 termos positivos cuja soma é m tem seu segundo termo igual a 1. Que valores deve assumir m, para que o problema tenha solução?

Resposta:

Genial o desenvolvimento da equação! Mas fiquei em dúvida quanto ao ∆. Não entendi o porquê de ∆ ≥ 0 garantir razões positivas.

Do enunciado, os três termos são positivos, certo? Sabendo disso, nós podemos concluir que a razão obedece a seguinte condição: q ≥ 1. Agora, vamos estabelecer a condição contrária em relação aquela que eu impus (∆ ≥ 0) inicialmente, ou seja, vamos impor a condição ∆ ≤ 0. Se ∆ ≤ 0 obteremos o seguinte intervalo de valores para m: -1 ≤ m ≤ 3, ok? Agora, tomemos qualquer m pertencente ao intervalo -1 ≤ m ≤ 3. Para m=-1, temos f(q)=q²+2q+1. Agora, vamos achar os possíveis valores que a razão pode assumir quando m=-1. Bom, para f(q)=0 tem q=-1 com multiplicidade 2. Note que isso é uma contradição, visto que neste caso não teríamos uma sequência com termos positivos. Sendo assim, ao fazermos ∆ ≤ 0 obteremos um intervalo de valores para m para os quais sempre teremos razões negativas, o que viola a condição do enunciado. Outra coisa, quando eu fiz ∆ ≥ 0, o intervalo que eu de fato obtive foi: m ≤ -1 ou m ≥ 3, entretanto, os termos da sequência são positivos e, portanto, a soma que equivale a m também é positiva, o que inviabiliza o intervalo m ≤ -1, o qual associa valores negativos ao valor m. Caso algo não tenha ficado claro, avise.

Obrigado Giovana!