Trigonometria

(ITA-SP) encontre todos os pontos do gráfico da função f(x)= sen^2(x) + cos(x) em que a reta tangente é paralela ao eixo x

Resposta : [size=34]±[/size]2π/3 +2kπ

f(x) = sen²x + cosx ---> Derivando:

f '(x) = 2.senx.cosx - senx ---> f '(x) = senx.(2.cosx - 1)

Para a reta tangente ser paralela ao eixo x, a derivada deve ser nula:

f '(x) = 0 ---> senx.(2.cosx - 1) = 0 ---> Temos duas soluções:

senx = 0 ---> x = k.pi

2.cosx - 1 = 0 ---> cosx = 1/2 ---> x = 2.k.pi ± pi/3

Não está "batendo" com o gabarito

Elcioschin escreveu:f(x) = sen²x + cosx ---> Derivando:

f '(x) = 2.senx.cosx - senx ---> f '(x) = senx.(2.cosx - 1)

Para a reta tangente ser paralela ao eixo x, a derivada deve ser nula:

f '(x) = 0 ---> senx.(2.cosx - 1) = 0 ---> Temos duas soluções:

senx = 0 ---> x = k.pi

2.cosx - 1 = 0 ---> cosx = 1/2 ---> x = 2.k.pi ± pi/3

Não está "batendo" com o gabarito

Bom acredito que tenha sido erro na hora de digitar então. Eu não entendo derivação, isso poderia ser resolvido de outra maneira ? Usando apenas propriedades de trigonometria e gráfico
E também não entendi o que quer dizer a reta ser tangente ao eixo X, essa reta tem que ser o gráfico da função ?

O gráfico é uma curva do tipo senoidal. Existem pontos de máximo e mínimo nesta função.

Apenas com exemplo, considere a função y = cosx, na 1ª volta

Para x = 0º ---> y = 1 ---> ponto de máximo da função: (0, 1)
Para x = 180º ---> y = -1 ---> ponto de mínimo da função: (0, -1)

Se traçarmos, nestes pontos, retas tangentes ao gráfico, elas serão paralelas ao eixo x.

O ITA e outras faculdades exigem conhecimento de derivadas.

Existe um outro meio sem derivadas: dê valores para x: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 120º, etc., calcule os valores de f(x) correspondentes e desenhe o gráfico na 1ª volta, Basta olhar o gráfico para descobrir os pontos de máximo e mínimo.

Elcioschin escreveu:O gráfico é uma curva do tipo senoidal. Existem pontos de máximo e mínimo nesta função.

Apenas com exemplo, considere a função y = cosx, na 1ª volta

Para x = 0º ---> y = 1 ---> ponto de máximo da função: (0, 1)
Para x = 180º ---> y = -1 ---> ponto de mínimo da função: (0, -1)

Se traçarmos, nestes pontos, retas tangentes ao gráfico, elas serão paralelas ao eixo x.

O ITA e outras faculdades exigem conhecimento de derivadas.

Existe um outro meio sem derivadas: dê valores para x: 0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 120º, etc., calcule os valores de f(x) correspondentes e desenhe o gráfico na 1ª volta, Basta olhar o gráfico para descobrir os pontos de máximo e mínimo.

Ok muito obrigado
Então os pontos em que ela é tangente seria exatamente os pontos máximos e mínimos da função certo?

Quase certo: 


Então os pontos em que a tangente é paralela ao eixo x seriam exatamente os pontos máximos e mínimos da função certo?

Elcioschin escreveu:Quase certo: 


Então os pontos em que a tangente é paralela ao eixo x seriam exatamente os pontos máximos e mínimos da função certo?

Certíssimo !

 jose16henrique campos de escreveu:(ITA-SP) encontre todos os pontos do gráfico da função f(x)= sen^2(x) + cos(x) em que a reta tangente é paralela ao eixo x

Resposta : [size=34]±[/size]2π/3 +2kπ

Alguém consegue resolver sem derivar? Por favor!
Achei x = π/3, 5π/3, 7π/3 … e não o previsto no gabarito.
Minha resolução:

f(x) = -cos²x + cosx + 1
Fazendo m = cosx
f(x) = -m² + m + 1
Yv = -5/4.(-1) = 5/4
Xv = 1/2

Logo, a função assume os valores máximos em aproximadamente y = 1,25, com suas abscissas assumindo os valores:
cosx = 1/2 ⇒ x = π/3, 5π/3, 7π/3…
Estou errando grotescamente?

 

Fazendo sem derivar:

f(x) = sen²x + cosx ---> f(x) = (1 - cos²x) + cosx ---> f(x) = - cos²x + cosx + 1

Temos uma função do 2º grau na variável cosx
O gráfico desta função uma parábola com a concavidade voltada para baixo (a = -1)
O valor máximo da função ocorre no vértice:

cosx(V) = - b/2.a ---> cosx(V) = - 1/2.(-1) ---> cosx(V) = 1/2

Complete