Calcular depósito inicial e gradiente

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Calcular depósito inicial e gradiente

Mensagem por baltuilhe em Ter Jan 09 2018, 13:45

Um investidor deposita um valor em um fundo que paga 5% a.m. planejando realizar 60 saques mensais. O primeiro saque será de $ 100,00 e o último de $ 600,00, segundo uma P.A.
Caso queira substituir os saques por uma outra P.A, mas DECRESCENTE, se o último saque for de $ 100,00, qual o valor do primeiro saque sabendo-se que o valor depositado seria o mesmo?

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Re: Calcular depósito inicial e gradiente

Mensagem por Luiz 2017 em Qui Jan 11 2018, 12:11

baltuilhe escreveu:Um investidor deposita um valor em um fundo que paga 5% a.m. planejando realizar 60 saques mensais. O primeiro saque será de $ 100,00 e o último de $ 600,00, segundo uma P.A.
Caso queira substituir os saques por uma outra P.A, mas DECRESCENTE, se o último saque for de $ 100,00, qual o valor do primeiro saque sabendo-se que o valor depositado seria o mesmo?

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Re: Calcular depósito inicial e gradiente

Mensagem por baltuilhe em Qui Jan 11 2018, 13:02

Luiz, boa tarde!

É um exercício diferente, né?

Gostaria de saber a opinião de nosso colega jota-r, também, antes de começar a soltar uma solução Smile

Abraços!
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Re: Calcular depósito inicial e gradiente

Mensagem por jota-r em Sex Jan 12 2018, 09:30

Luiz 2017 escreveu:
baltuilhe escreveu:Um investidor deposita um valor em um fundo que paga 5% a.m. planejando realizar 60 saques mensais. O primeiro saque será de $ 100,00 e o último de $ 600,00, segundo uma P.A.
Caso queira substituir os saques por uma outra P.A, mas DECRESCENTE, se o último saque for de $ 100,00, qual o valor do primeiro saque sabendo-se que o valor depositado seria o mesmo?

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Re: Calcular depósito inicial e gradiente

Mensagem por jota-r em Dom Jan 14 2018, 20:35

jota-r escreveu:
Luiz 2017 escreveu:
baltuilhe escreveu:Um investidor deposita um valor em um fundo que paga 5% a.m. planejando realizar 60 saques mensais. O primeiro saque será de $ 100,00 e o último de $ 600,00, segundo uma P.A.
Caso queira substituir os saques por uma outra P.A, mas DECRESCENTE, se o último saque for de $ 100,00, qual o valor do primeiro saque sabendo-se que o valor depositado seria o mesmo?

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Espere um pouco antes de resolver, Baltuilhe.
Boa noite, Baltuilhe.

Fiquei sem internet vários dias. Pretendo tentar solução amanhã.

A propósito, para chegar a esse resultado, você trabalhou com quantas decimais?

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Re: Calcular depósito inicial e gradiente

Mensagem por baltuilhe em Dom Jan 14 2018, 23:29

Boa noite, jota-r!

Acabei de verificar que com 4 casas decimais chegará na mesma resposta que cheguei.
Mas costumo fazer contas com 6 casas.

Abraços!

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Re: Calcular depósito inicial e gradiente

Mensagem por jota-r em Seg Jan 15 2018, 15:41

baltuilhe escreveu:Boa noite, jota-r!

Acabei de verificar que com 4 casas decimais chegará na mesma resposta que cheguei.
Mas costumo fazer contas com 6 casas.

Abraços!

Olá.


PA crescente:

100 + 59G = 600---->59G = 600 - 100---->59G = 500---->G = 500/59---->G = 8,4746

i = 5%; n = 60; G = ?


P = G/i*{(1+i)*[(1+i)^n-1]/[(1+i)^n*i] - n/(1+i)^n]}
---->
P = 8,4746/0,05*{1,05*(1,05^60-1)/(1,05^60*0,05) - 60/1,05^60}
---->
P = 169,4920*{1,05*18,9293 - 3,2121}
---->
P = 169,4920*{19,8758 - 3,2121}
---->
P = 169,4920*16,6637
---->
P = 2824,3638

PA decrescente:

a1 - 60G = 200---->a1 = 60G + 200
---->
2824,3638 = 60*(59G + 200 - 200)/2
---->
2824,3638/60*2 = 59G
---->
2824,3638/60*2 = 59G

2824,3638/60*2 = 59G
---->
94,1455 = 59G
---->
94,1455 = 59G
---->
G = 94,1455/59
---->
G = 1,5957


a1 = 200 + 59*1,5957
---->
a1 = 200 + 94,1463
---->
a1 = 294,15--->resposta

Diferença = 295,86 - 294,15 = 1,71

Gostaria de ver sua resolução.

Sds.

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Re: Calcular depósito inicial e gradiente

Mensagem por baltuilhe em Seg Jan 15 2018, 17:48

Jota-r, boa tarde!

Muito obrigado por tentar resolver Wink

Deixo abaixo algumas observações em sua solução para tentar chegar na resposta:

jota-r escreveu:
Olá.


PA crescente:

100 + 59G = 600---->59G = 600 - 100---->59G = 500---->G = 500/59---->G = 8,4746

i = 5%; n = 60; G = ?


P = G/i*{(1+i)*[(1+i)^n-1]/[(1+i)^n*i] - n/(1+i)^n]}
---->
P = 8,4746/0,05*{1,05*(1,05^60-1)/(1,05^60*0,05) - 60/1,05^60}
---->
P = 169,4920*{1,05*18,9293 - 3,2121}
---->
P = 169,4920*{19,8758 - 3,2121}
---->
P = 169,4920*16,6637
---->
P = 2824,3638


Até aqui, tudo bem! Mas faltou um pedaço: Os depósitos são em P.A., com o primeiro valor de 100,00, certo? Faltou atualizar este valor para a data zero (não se esquecendo que em todas as prestações terá 100 + kG). Sua atualização para a data zero foi somente do fator G, 2G, 3G... até 59G.

Continuando:
jota-r escreveu:
PA decrescente:

a1 - 60G = \overbrace{200}^{\text{de onde saiu este 200???}} ---->a1 = 60G + 200
---->
2824,3638 = 60*(59G + 200 - 200)/2
---->
2824,3638/60*2 = 59G
---->
2824,3638/60*2 = 59G

2824,3638/60*2 = 59G
---->
94,1455 = 59G
---->
94,1455 = 59G
---->
G = 94,1455/59
---->
G = 1,5957


a1 = 200 + 59*1,5957
---->
a1 = 200 + 94,1463
---->
a1 = 294,15--->resposta

Diferença = 295,86 - 294,15 = 1,71

Gostaria de ver sua resolução.

Sds.

Então, a segunda parte da sua resolução não levou em consideração a taxa de juros e também 'surgiu' um valor 200,00 que não consegui entender de onde veio.
Deve ser considerado um fluxo de caixa igual ao primeiro, mas com as prestações decrescentes em P.A. para obter a resposta.

Vou aguardar novamente seu post!

Abraços!
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Re: Calcular depósito inicial e gradiente

Mensagem por jota-r em Seg Jan 15 2018, 20:39

baltuilhe escreveu:Jota-r, boa tarde!

Muito obrigado por tentar resolver Wink

Deixo abaixo algumas observações em sua solução para tentar chegar na resposta:

jota-r escreveu:
Olá.


PA crescente:

100 + 59G = 600---->59G = 600 - 100---->59G = 500---->G = 500/59---->G = 8,4746

i = 5%; n = 60; G = ?


P = G/i*{(1+i)*[(1+i)^n-1]/[(1+i)^n*i] - n/(1+i)^n]}
---->
P = 8,4746/0,05*{1,05*(1,05^60-1)/(1,05^60*0,05) - 60/1,05^60}
---->
P = 169,4920*{1,05*18,9293 - 3,2121}
---->
P = 169,4920*{19,8758 - 3,2121}
---->
P = 169,4920*16,6637
---->
P = 2824,3638


Até aqui, tudo bem! Mas faltou um pedaço: Os depósitos são em P.A., com o primeiro valor de 100,00, certo? Faltou atualizar este valor para a data zero (não se esquecendo que em todas as prestações terá 100 + kG). Sua atualização para a data zero foi somente do fator G, 2G, 3G... até 59G.

Continuando:
jota-r escreveu:
PA decrescente:

a1 - 60G = \overbrace{200}^{\text{de onde saiu este 200???}} ---->a1 = 60G + 200
---->
2824,3638 = 60*(59G + 200 - 200)/2
---->
2824,3638/60*2 = 59G
---->
2824,3638/60*2 = 59G

2824,3638/60*2 = 59G
---->
94,1455 = 59G
---->
94,1455 = 59G
---->
G = 94,1455/59
---->
G = 1,5957


a1 = 200 + 59*1,5957
---->
a1 = 200 + 94,1463
---->
a1 = 294,15--->resposta

Diferença = 295,86 - 294,15 = 1,71

Gostaria de ver sua resolução.

Sds.

Então, a segunda parte da sua resolução não levou em consideração a taxa de juros e também 'surgiu' um valor 200,00 que não consegui entender de onde veio.
Deve ser considerado um fluxo de caixa igual ao primeiro, mas com as prestações decrescentes em P.A. para obter a resposta.

Vou aguardar novamente seu post!

Abraços!
O 200 foi engano. Queira me referir ao valor do último saque (100). Você disse que faltou descapitalizar o 100 para a data zero.
Os saques começam só no final do do prazo?  O enunciado não fala isto .

Sds.

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Re: Calcular depósito inicial e gradiente

Mensagem por baltuilhe em Seg Jan 15 2018, 20:46

O fluxo de caixa em Gradiente Decrescente substitui o original. Troca-se um fluxo pelo outro. Smile
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Re: Calcular depósito inicial e gradiente

Mensagem por baltuilhe em Ter Jan 30 2018, 19:50

baltuilhe escreveu:Um investidor deposita um valor em um fundo que paga 5% a.m. planejando realizar 60 saques mensais. O primeiro saque será de $ 100,00 e o último de $ 600,00, segundo uma P.A.
Caso queira substituir os saques por uma outra P.A, mas DECRESCENTE, se o último saque for de $ 100,00, qual o valor do primeiro saque sabendo-se que o valor depositado seria o mesmo?

R: $ 295,86
Boa tarde!

Dados:
Taxa: i = 5% a.m.
Prazo: n = 60 meses
Saques: de $ 100,00 a $ 600,00
Valor Inicial: PMT = 100,00
Gradiente: G1 = ?
\dfrac{ 600 - 100 }{ 60 - 1 } \approx 8,47

Agora que temos a razão, podemos calcular o valor atual:
\\PV = PMT \cdot \left[ \dfrac{ 1 - \left( 1 + i \right) ^ { -n } }{ i } \right] + \dfrac{ G_1 }{ i } \cdot \left[ \dfrac{ 1 - \left( 1 + i \right) ^ { -n } }{ i } - \dfrac{ n }{ \left( 1 + i \right) ^ { n } } \right]\\\\PV = 100 \cdot \left[ \dfrac{ 1 - \left( 1 + 5\% \right) ^ { -60 } }{ 5\% } \right] + \dfrac{ 8,47 }{ 5\% } \cdot \left[ \dfrac{ 1 - \left( 1 + 5\% \right) ^ { -60 } }{ 5\% } - \dfrac{ 60 }{ \left( 1 + 5\% \right) ^ { 60 } } \right]\\\\PV = 100 \cdot \overbrace{ \left( \dfrac{ 1 - 1,05 ^ { -60 } }{ 0,05 } \right) } ^ { 18,929290 } + \overbrace{ \dfrac{ 8,47 }{ 0,05 } } ^ { 169,4 } \cdot \left( \overbrace{ \dfrac{ 1 - 1,05 ^ { -60 } }{ 0,05 } } ^ { 18,929290 } - \overbrace{ \dfrac{ 60 }{ 1,05 ^ { 60 } } } ^ { 3,212131 } \right)\\\\PV \approx 1\,892,93 + 169,4 \cdot 15,717159\\\\PV \approx 1\,892,93 + 2\,662,49\\\\\boxed{ PV \approx 4\,555,42 }

Bom, agora, para resolver:
Taxa: i = 5% a.m.
Prazo: n = 60 meses
Saques: de X a $ 100,00 (decrescente)
Valor Inicial: ?
Gradiente: G2 = ?

Bom, a fórmula para o gradiente decrescente:
\\PV = PMT \cdot \left[ \dfrac{ 1 - \left( 1 + i \right) ^ { -n } }{ i } \right] + \dfrac{ G_2 }{ i } \cdot \left[ n - \dfrac{ 1 - \left( 1 + i \right) ^ { -n } }{ i } \right] - G_2 \cdot \left[ \dfrac{ 1 - \left( 1 + i \right) ^ { -n } }{ i } \right]\\\\PV = 100 \cdot \left[ \dfrac{ 1 - \left( 1 + 5\% \right) ^ { -60 } }{ 5\% } \right] + \dfrac{ G_2 }{ 5\% } \cdot \left[ 60 - \dfrac{ 1 - \left( 1 + 5\% \right) ^ { -60 } }{ 5\% } \right] - G_2 \cdot \left[ \dfrac{ 1 - \left( 1 + 5\% \right) ^ { -60 } }{ 5\% } \right]\\\\PV = 100 \cdot \overbrace{ \left( \dfrac{ 1 - 1,05 ^ { -60 } }{ 0,05 } \right) } ^ { 18,929290 } + \dfrac{ G_2 }{ 0,05 } \cdot \left( 60 - \overbrace{ \dfrac{ 1 - 1,05 ^ { -60 } }{ 0,05 } } ^ { 18,929290 } \right) + G_2 \cdot \overbrace{ \left( \dfrac{ 1 - 1,05 ^ { -60 } }{ 0,05 } \right) } ^ { 18,929290 }\\\\PV \approx 1\,892,93 + G_2 \cdot 821,4142 - G_2 \cdot 18,929290\\\\PV \approx 1\,892,93 + G_2 \cdot 802,48491

Veja que este último valor terá que 'bater' com o valor 2.662,49 da expressão anterior. Então:
\\802,48491 \cdot G_2 = 2\,662,49\\\\G_2 = \dfrac{ 2\,662,49 }{ 802,48491 }\\\\G_2 \approx 3,32

Valor da primeira prestação:
100+(60-1) \cdot 3,32 = 295,88

Diferença devido a excessivos arredondamentos! Smile

Espero ter contribuído!

Abraços!
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Re: Calcular depósito inicial e gradiente

Mensagem por Luiz 2017 em Qui Fev 01 2018, 16:58

baltuilhe escreveu:
Bom, agora, para resolver:
Taxa: i = 5% a.m.
Prazo: n = 60 meses
Saques: de X a $ 100,00 (decrescente)
Valor Inicial: ?
Gradiente: G2 = ?

Bom, a fórmula para o gradiente decrescente:
\\PV = \underbrace{PMT} \cdot \left[ \dfrac{ 1 - \left( 1 + i \right) ^ { -n } }{ i } \right] + \dfrac{ G_2 }{ i } \cdot \left[ n - \dfrac{ 1 - \left( 1 + i \right) ^ { -n } }{ i } \right] - G_2 \cdot \left[ \dfrac{ 1 - \left( 1 + i \right) ^ { -n } }{ i } \right]\\\\PV = \underbrace{100}_{?} \cdot \left[ \dfrac{ 1 - \left( 1 + 5\% \right) ^ { -60 } }{ 5\% } \right] + \dfrac{ G_2 }{ 5\% } \cdot \left[ 60 - \dfrac{ 1 - \left( 1 + 5\% \right) ^ { -60 } }{ 5\% } \right] - G_2 \cdot \left[ \dfrac{ 1 - \left( 1 + 5\% \right) ^ { -60 } }{ 5\% } \right]\\\\PV =\underbrace{100}_{?} \cdot \overbrace{ \left( \dfrac{ 1 - 1,05 ^ { -60 } }{ 0,05 } \right) } ^ { 18,929290 } + \dfrac{ G_2 }{ 0,05 } \cdot \left( 60 - \overbrace{ \dfrac{ 1 - 1,05 ^ { -60 } }{ 0,05 } } ^ { 18,929290 } \right) + G_2 \cdot \overbrace{ \left( \dfrac{ 1 - 1,05 ^ { -60 } }{ 0,05 } \right) } ^ { 18,929290 }\\\\PV \approx 1\,892,93 + G_2 \cdot 821,4142 - G_2 \cdot 18,929290\\\\PV \approx 1\,892,93 + G_2 \cdot 802,48491

Veja que este último valor terá que 'bater' com o valor 2.662,49 da expressão anterior. Então:
\\802,48491 \cdot G_2 = 2\,662,49\\\\G_2 = \dfrac{ 2\,662,49 }{ 802,48491 }\\\\G_2 \approx 3,32

Valor da primeira prestação:
100+(60-1) \cdot 3,32 = 295,88

Diferença devido a excessivos arredondamentos! Smile

Espero ter contribuído!

Abraços!



Baltuilhe, seus cálculos da 1ª parte batem com os meus.

Quanto a 2ª parte, a meu ver, há um equívoco. O exercício pede para calcular a primeira parcela (valor inicial) que no caso é o PMT. Mas na sua fórmula (veja acima), do nada, você tira um PMT = 100.

Afinal, o valor inicial é um dado ou uma incógnita?

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Re: Calcular depósito inicial e gradiente

Mensagem por baltuilhe em Qui Fev 01 2018, 19:13

Luiz, a primeira parcela é PMT quando estamos tratando de um fluxo de caixa em Gradiente Crescente. Quando estamos tratando de Gradiente Decrescente o PMT é a última parcela.

Sds.
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Re: Calcular depósito inicial e gradiente

Mensagem por Luiz 2017 em Qui Fev 01 2018, 19:27

Balduilhe, de qual livro você tirou esta fórmula para PA decrescente postecipada?

PV = PMT\cdot\left[\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\right]+\frac{G}{i}\cdot \left[n-\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\right]-G\cdot\left[\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}\right]


A que eu conheço e uso é esta a seguir retirada de Matemática Financeira de Carlos Alberto Pinheiro, Ciência Moderna, 2005:

PV = \frac{p \cdot \left[ \frac{(1+i)^n -1}{i}\right] - \frac{G}{i} \cdot \left[ \frac{(1+i)^n - 1}{i} - n \right]}{(1+i)^n}

onde p = primeira parcela e G = razão.

Não verifiquei se dão o mesmo resultado.

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Re: Calcular depósito inicial e gradiente

Mensagem por baltuilhe em Sex Fev 02 2018, 09:35

Bom dia!

Desculpe em demorar para responder, mas tava meio corrido ontem Smile

Bom, a fórmula não é exatamente essa, mas ela foi retirada do livro do Clóvis de Faro, Introdução à Matemática Financeira.
Realmente há duas formas de se calcular esse exercício (pelo menos em uma primeira análise).
1) Imaginar um fluxo de caixa com valor constante PMT (neste caso, o maior termo da P.A.) SUBTRAÍDO de um fluxo de caixa em Gradiente Crescente.
2) Imaginar um fluxo de caixa com valor constante PMT (neste caso, o menor termo da P.A., e para um fluxo de caixa decrescente, o último), SOMADO de um fluxo de caixa em Gradiente Decrescente.

A 1ª fórmula seria similar a que você postou (com algumas leves modificações, mas a mesma):
PV = PMT \cdot \left[ \dfrac{ 1 - \left( 1 + i \right) ^ { -n} }{ i } \right] + \dfrac{ G }{ i } \cdot \left[ \dfrac{ 1 - \left( 1 + i \right) ^ { -n} }{ i } - \dfrac{ n }{ \left( 1 + i \right) ^ { n } } \right]
Nessa última o PMT é o primeiro termo da P.A. e esta é uma P.A. Crescente.
Se quisermos resolver com essa fórmula uma P.A. decrescente teríamos que 'modificar' o PMT para ser o ÚLTIMO termo da P.A. Assim, PMT = P + (n-1)G, onde P é o último termo, e PMT o 'primeiro' termo, maior valor. Dessa forma resolveria, também o problema.

A 2ª fórmula é a seguinte:
\\PV = PMT \cdot \left[ \dfrac{ 1 - \left( 1 + i \right) ^ { -n} }{ i } \right] + \left\{ \dfrac{ G }{ i } \cdot \left[ n - \dfrac{ 1 - \left( 1 + i \right) ^ { -n} }{ i } \right] - G \cdot \left[ \dfrac{ 1 - \left( 1 + i \right) ^ { -n} }{ i } \right] \right\}
Nesta, o PMT é o ÚLTIMO termo da P.A. e G é o valor que irá DECRESCER.
As duas fórmulas são equivalentes, bastando fazer alguma manipulação algébrica para sair de uma e chegar na outra.

Espero ter ajudado!
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