(UFC-2000) Função sobrejetiva
2 participantes
PiR2 :: Matemática :: Álgebra
Página 1 de 1
(UFC-2000) Função sobrejetiva
por Victor Luz Qua 03 Jan 2018, 10:09
Sejam, a,b,c e d números reais com a≠b e c≠d. Suponha que f: [a,b] → [c,d] é uma função estritamente crescente (isto é, x1 < x2 ⇔ f(x1) < f(x2)) e sobrejetiva. Então, podemos afirmar corretamente que:
a) f[(a+b/2)]=[(c+d)/2]
b) f(a)=c e f(b)=d
c) f(a)+f(b) ∈ [c,d]
d) f(b)-f(a) ∈ [c,d]
e) |f(a)|<|f(b)|
Gabarito:
a) f[(a+b/2)]=[(c+d)/2]
b) f(a)=c e f(b)=d
c) f(a)+f(b) ∈ [c,d]
d) f(b)-f(a) ∈ [c,d]
e) |f(a)|<|f(b)|
Gabarito:
Victor Luz- Mestre Jedi
- Mensagens : 775
Data de inscrição : 14/03/2017
Idade : 27
Localização : São Paulo - Brasil
Re: (UFC-2000) Função sobrejetiva
por evandronunes Qua 03 Jan 2018, 12:22
Alternativa B.
Suponha que f(a) \neq c . Assim, deve existir um y_0 , tal que f(a) = y_0 .
Como c é o mínimo de [c, d], então c < y_0 .
Devido a sobrejetividade de f , deve existir um x_0 em [a, b], onde f(x_0)=c .
Como a é o mínimo de [a, b], então a < x_0 .
Mas, se a < x_0 e f é estritamente crescente, então f(a) < f(x_0) \ \ \Rightarrow \ \ y_0< c , contradição.
Logo, nossa hipótese inicial não é válida. Portanto, f(a) =c .
Para f(b) = d , o raciocínio é análogo.
Obs: Para as outras alternativas não é difícil achar um contraexemplo que as tornem falsas.
Suponha que
Como
Devido a sobrejetividade de
Como
Mas, se
Logo, nossa hipótese inicial não é válida. Portanto,
Para
Obs: Para as outras alternativas não é difícil achar um contraexemplo que as tornem falsas.
evandronunes- Jedi
- Mensagens : 206
Data de inscrição : 09/01/2015
Idade : 46
Localização : Paulo Afonso - BA
Re: (UFC-2000) Função sobrejetiva
por Victor Luz Qua 03 Jan 2018, 12:30
evandronunes escreveu:Alternativa B.
Suponha quef(a) \neq c . Assim, deve existir umy_0 , tal quef(a) = y_0 .
Comoc é o mínimo de [c, d], entãoc < y_0 .
Devido a sobrejetividade def , deve existir umx_0 em [a, b], ondef(x_0)=c .
Comoa é o mínimo de [a, b], entãoa < x_0 .
Mas, sea < x_0 ef é estritamente crescente, entãof(a) < f(x_0) \ \ \Rightarrow \ \ y_0< c , contradição.
Logo, nossa hipótese inicial não é válida. Portanto,f(a) =c .
Paraf(b) = d , o raciocínio é análogo.
Obs: Para as outras alternativas não é difícil achar um contraexemplo que as tornem falsas.
Excelente análise, muito obrigado!
Victor Luz- Mestre Jedi
- Mensagens : 775
Data de inscrição : 14/03/2017
Idade : 27
Localização : São Paulo - Brasil
Tópicos semelhantes» Função Sobrejetiva
» Função modular - sobrejetiva
» dúvida função modular sobrejetiva
» (OBM - 2000) Função
» EsPCEx 2000 Função
» Função modular - sobrejetiva
» dúvida função modular sobrejetiva
» (OBM - 2000) Função
» EsPCEx 2000 Função
PiR2 :: Matemática :: Álgebra
Página 1 de 1
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos
