Tópicos de Geometria Analítica

por jasow Sex 10 Nov 2017, 19:30

Se a área da região do plano coordenado definida pela relação |x| + |y| ≤ a for igual a 4, podemos afirmar que:

Resposta: a = √2

Minha resolução: a = 2√2

Queria saber se o gabarito está errado ou a minha resolução, desde já, agradecido.

por **Euclides** Sex 10 Nov 2017, 20:13

por **Giovana Martins** Sex 10 Nov 2017, 20:15

Seja g(x)=|y|

Vou tratar a inequação como se fosse uma equação.

|x| + |y| = a

g(x)=-|x|+a

|x|=x, se x ≥ 0 ou |x|=-x, se x < 0

Portanto:

g(x)=-x+a, se x ≥ 0 ou g(x)=x+a, se x < 0

Logo:

|y|=-x+a, se x ≥ 0 ou |y|=x+a, se x < 0

|y|=y se y ≥ 0 ou |y|=-y, se y < 0

Se y ≥ 0, |y|=y

Logo: y=-x+a, se x ≥ 0 e y ≥ 0

Se y < 0, |y|=-y

Logo: -y=-x+a -> y=x-a, se x ≥ 0 e y < 0

Se y ≥ 0, |y|=y

Logo: y=x+a, se x < 0 e y ≥ 0

Se y < 0, |y|=-y

Logo: -y=x+a -> y=-x-a, se x < 0 e y < 0

Plotando o gráfico delimitado pelas condições em azul, amarelo, verde e preto, em um plano xy, você observará que a função |y|=-|x|+a forma um quadrado no plano com uma diagonal que equivale a "2a". A inequação |x| + |y| ≤ a equivale a região interna do quadrado. Basta você hachurar a região interna do quadrado que você obterá o conjunto de pontos que satisfaz a inequação. Bom, se a área do quadrado é 4:

D=L√2 -> 2a=L√2 -> L=(2a)/(√2)

A=L² -> 4=[(2a)/(√2)]² -> a=±√2

De início eu tratei a inequação como uma equação. Veja uma coisa:

Se, |y|=-|x|+a, a tem de ser estritamente positivo, do contrário teríamos um absurdo, ou seja, |y| < 0. O módulo de um número é sempre positivo. Logo, devemos desconsiderar o valor a=-√2. Sendo assim, a resposta é a=√2.

Nota: neste link há uma questão semelhante a esta.