Equação exponencial

por jose16henrique campos de Sex 03 Nov 2017, 12:07

O enunciado diz : Resolva o sistema de equações para x>0 e y>0, sendo m\cdot n>0

\begin{cases} x^{y}=y^{x}\\ x^{m}=y^{n} \end{cases}

Resposta do livro :
S= \left \{ \left ( 1,1 \right ),\left ( \left ( \frac{n}{m} \right )^{\frac{n}{n-m}},\left ( \frac{n}{m} \right )^{\frac{n}{n-m}} \right )\right \}

encontrei :
S=\left \{ \left ( 1,1 \right ),\left ( \left ( \frac{m}{n} \right )^{\frac{2n}{m-n}},\left ( \frac{m}{n} \right )^{\frac{2}{m-n}} \right ) \right \}

poderiam me diz se estou certo ou se estou errado como devo fazer pra resolver esse sistema ?

por **Elcioschin** Sex 03 Nov 2017, 12:30

x^y = y^x ---> y.logx = x.logy ---> I

x^m = yⁿ ---> m.logx = n.logy ---> II

I : II ---> y/m = x/n ---> y = m.x/n ---> III

II ---> x^m = (m.x/n)ⁿ ---> x^m = (m/n)ⁿ.xⁿ ---> x^m-n = (m/n)ⁿ--->

(m-n).logx = n.log(m/n) ---> logx = [n/(m-n)].log(m/n) --->

logx = log[(m/n)]^n/(m-n) ---> x = (m/n)^n/(m-n)---> Confere com o gabarito

Complete, calculando y em III

por jose16henrique campos de Sex 03 Nov 2017, 13:55

Elcioschin escreveu:x^y = y^x ---> y.logx = x.logy ---> I

x^m = yⁿ ---> m.logx = n.logy ---> II

I : II ---> y/m = x/n ---> y = m.x/n ---> III

II ---> x^m = (m.x/n)ⁿ ---> x^m = (m/n)ⁿ.xⁿ ---> x^m-n = (m/n)ⁿ--->

(m-n).logx = n.log(m/n) ---> logx = [n/(m-n)].log(m/n) --->

logx = log[(m/n)]^n/(m-n) ---> x = (m/n)^n/(m-n)---> Confere com o gabarito

Complete, calculando y em III

obrigado

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