base - álgebra linear

Se {u1, u2, u3} é uma base de um espaço vetorial, mostre que {u1, u1 + u2, u1 + u2 + u3} também é uma base desse espaço.

Alguém pode me ajudar a fazer esse exercício?

Sejam a1,a2 e a3 escalares em um corpo. Primeiro vamos ver que {u1, u1 + u2, u1 + u2 + u3}  são L.I. Então a1u1 + a2(u1 + u2) + a3(u1 + u2 + u3) = 0 ⇔ (a1 + a2 + a3)u1 + (a2 + a3)u2 + a3u3 = 0. Como {u1,u2,u3} é uma base, u1,u2 e u3 são L.I, ou seja, a3 = 0 , a2 + a3 = 0 ⇒ a2 = 0 e a1 + a2 + a3 ⇒ a1 = 0. Logo tais vetores são L.I. 

Agora vamos ver que tal base gera qualquer vetor desse espaço. Como {u1, u2, u3} gera o espaço, para qualquer vetor v podemos escrever v = b1u1 + b2u2 + b3u3 com b1,b2 e b3 escalares. Então  (c1 + c2 + c3)u1 + (c2 + c3)u2 + c3u3 = v ⇔ c3 = b3 , c2 = b2 - b3 e c1 = b1 - b2. Isto é, qualquer vetor gerado pela base {u1, u2, u3} pode ser gerado pela base {u1, u1 + u2, u1 + u2 + u3}. Portanto {u1, u1 + u2, u1 + u2 + u3} é uma base desse espaço.

Muito obrigado amigo